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DU SECOND ORDRE.

En thèse générale ces deux diamètres se couperont : ils seront parallèles si l’on a

$C^{2}-AB=0\quad$d’où$\quad C={\sqrt {AB}};$

enfin ils se confondront, si l’on a en outre,

$CB'=BA'\quad$ou$\quad CA'=AB'$

d’où

$A=C{\frac {A'}{B'}},\qquad B=C{\frac {B'}{A'}}.$

Dans le premier cas, la courbe aura un centre ; dans le second, elle en sera dépourvue, enfin dans le troisième, elle en aura une infinité, tous situés sur une droite dont l’équation sera

$A'x+B'y+{\frac {A'B'}{C}}=0.$

occupons-nous uniquement du premier de ces trois cas.

Nous venons d’observer que, lorsqu’une ligne du second ordre a un centre, ce centre est déterminé par l’intersection de deux quelconques de ses diamètres. Si, de ce même centre et d’un rayon quelconque, on décrit un cercle, ce cercle coupera, en général, la courbe en quatre points, lesquels seront les extrémités de deux diamètres égaux, symétriquement situés par rapport aux diamètres principaux ; de sorte que la droite qui divisera en deux parties égales l’angle de ces deux diamètres, indiquera par sa direction celle de l’un des diamètres principaux. Si donc on prend le rayon du cercle de telle manière que les deux diamètres se confondent, l’un des diamètres principaux se confondra aussi avec eux, et le rayon du cercle sera la moitié de ce diamètre.

Imitons analitiquement ce procédé. D’abord la combinaison des équations (2) donne, pour les équations du centre

$x={\frac {BA'-CB'}{C^{2}-AB}},\qquad y={\frac {AB'-CA'}{C^{2}-AB}}.\qquad$(3)