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LIGNES ET SURFACES

l’équation de la courbe dont il s’agit ; l’angle des coordonnées étant supposé $=\gamma .$

Soit $x=a$ l’équation d’une corde quelconque parallèle à l’axe des $y\,;$ en combinant cette équation avec la proposée, celle-ci deviendra

$y^{2}+2.{\frac {Ca+B'}{B}}y+{\frac {Aa^{2}+2A'a+D}{B}}=0.$

les deux valeurs de $y$ déduites de cette équation seront les ordonnées des extrémités de la corde dont il s’agit. Mais le coefficient du second terme d’une équation du second degré, pris avec un signe contraire, étant la somme de ses racines, il en résulte que, pour le milieu de cette corde, on aura

$y=-{\frac {Ca+B'}{B}};$

en changeant donc $a$ en $x$, dans cette dernière équation, l’équation résultante

$By+Cx+B'=0$

sera celle du lieu géométrique des milieux de toutes les cordes parallèles à l’axe des $y\,;$ c’est-à-dire, l’équation du diamètre qui coupe toutes ces cordes en deux parties égales.

On peut remarquer que cette équation n’est autre chose que la dérivée de la proposée (1), prise par rapport à $y$ seulement ; et en conclure que la dérivée de la même équation, prise par rapport à $x$ seulement, sera l’équation du diamètre coupant en deux parties égales les cordes parallèles à l’axe des $x.$

Il suit de là que les équations des diamètres coupant en deux parties égales les cordes parallèles aux deux axes sont

$\left.{\begin{aligned}Ax+Cy+A'=0,\\By+Cx+B'=0.\\\end{aligned}}\right\}(2)$