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ÉCLIPSES

$(Bq'-Ay)q+(Br'-Az)r=P,$

il en résultera l’équation

$(A-B)P\operatorname {d} x=A(A-B)(B-x)(q\operatorname {d} y+r\operatorname {d} z)-(A-x)(B-x)B(mq+nr)\operatorname {d} t.$

59. L’équation de la sphère $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0,$ donne, en différenciant $x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z=0.$ On pourra donc éliminer la différentielle $\operatorname {d} x$ de l’équation précédente ; il viendra ainsi

${\begin{aligned}B(A-x)(B-x)(mq+nr)x\operatorname {d} t&=(A-B)\left\{Py+A(B-x)qx\right\}\operatorname {d} y\\&+(A-B)\left\{P2+A(B-x)rx\right\}\operatorname {d} z.\\\end{aligned}}$

60. En conséquence, si l’on suppose que le moment d’une plus grande phase est donnée d’avance, ce qui rend $\operatorname {d} t=0,$ et qu’on demande l’endroit de la terre où l’observateur doit se placer, pour voir cette moindre distance apparente des centres sous un angle donné, il faudra égaler séparément à zéro les deux coefficiens de $\operatorname {d} y$ et $\operatorname {d} z.$ Il en résultera les deux équations qui suivent :

$0=Py+A(B-x)qx,\qquad 0=Pz+A(B-x)rx.$

61. Ces équations donnent immédiatement ${\frac {y}{z}}={\frac {q}{r}};$ de sorte qu’on peut faire $y=kq,\ z=kr.$ Les équations du n.^o 8 deviendront alors

${\begin{aligned}(A-x)Bq'&=A(A-B)kq+A(B-x)q,\\(A-x)Br'&=A(A-B)kr+A(B-x)r,\\\end{aligned}}$

de sorte qu’en faisant, pour abréger

$nA(A-B)+A(B-x)=F$

on aura

${\begin{aligned}(A-x)Bq'&=Fq,\\(A-x)Br'&=Fr;\\\end{aligned}}$

ainsi donc, au moment de la plus grande phase, quelle que soit d’ailleurs sa grandeur absolue ; on a toujours ${\frac {q}{r}}={\frac {q'}{r'}}={\frac {y}{z}};$ d’où il résulte le théorème qui suit :