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QUESTIONS

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du problème de dynamique proposé à la
page 220 du V.^e volume de ce recueil ;

Par M, J. F. Français, professeur à l’école royale
de l’artillerie et du génie.

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Problème. On donne la sous-tendante de l’arc que doit décrire l’extrémité inférieure d’un pendule simple ; et on demande quelle langueur doit avoir ce pendule, pour que la durée de ses oscillations soit un minimum ?

Solution. Soient $2a$ la longueur de la sous-tendante donnée, $2\alpha$ l’amplitude d’oscillation qui lui répond, $r$ la longueur inconnue du pendule, $\theta$ l’angle que fait sa direction avec la verticale à une époque quelconque $t\,;$ en supposant nulle la vitesse initiale et désignant la gravité par $\operatorname {g} =9^{m},8088$ environ, il est connu qu’on aura

$\operatorname {d} t={\sqrt {\frac {r}{2\operatorname {g} }}}.{\frac {\operatorname {d} \theta }{\sqrt {\operatorname {Cos} .\theta -\operatorname {Cos} .\alpha }}}\,;\qquad$(1)

on aura de plus

$r\operatorname {Sin} .\alpha =a\,;\qquad$(2)

au moyen de quoi, éliminant, de (1), il viendra

$\operatorname {d} t={\sqrt {\frac {a}{2\operatorname {g} }}}.{\frac {\operatorname {d} \theta }{\sqrt {\operatorname {Sin} .\alpha (\operatorname {Cos} .\theta -\operatorname {Cos} .\alpha )}}}\,;$