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DES PARABOLOÏDES.

parvenu à rapporter la courbe à son diamètre principal, pris pour axe des $t,$ et à la tangente à son sommet, prise pour axe des $u\,;$ supposons de plus que, par suite de cette transformation, l’équation soit devenue

$u^{2}=2Pt,\qquad$(2)

$P$ étant conséquemment le demi-paramètre.

Si l’on désigne par $a,b,$ respectivement les coordonnées de l’origine primitive rapportée aux axes de $t$ et des $u,$ et par $\alpha ,\beta$ les angles que font respectivement les axes des $x$ et des $y$ avec l’axe des $t,$ on repassera, comme l’on sait, du système transformé au système primitif, en posant

$\left.{\begin{aligned}&t=a+x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\beta ,\\&u=b+x\operatorname {Sin} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\beta .\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(3)

En faisant la substitution dans l’équation (2), on obtiendra la transformée

$(x\operatorname {Sin} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\beta )^{2}+2\left\{(b\operatorname {Sin} .\alpha -P\operatorname {Cos} .\alpha )x+(b\operatorname {Sin} .\beta -P\operatorname {Cos} .\beta )y\right\}$

$+\left(b^{2}-Pa\right)=0\,;$

laquelle ne devra différer au plus de l’équation (1) que par un facteur commun à tous ses termes ; désignant donc ce facteur par $\lambda ^{2},$ on aura

$\operatorname {Sin} .\alpha =\lambda A,\qquad b\operatorname {Sin} .\alpha -P\operatorname {Cos} .\alpha =\lambda ^{2}A',$

$\operatorname {Sin} .\beta =\lambda B,\qquad b\operatorname {Sin} .\beta -P\operatorname {Cos} .\beta =\lambda ^{2}B',$

$b^{2}-2Pa=\lambda ^{2}C\,;$

équations auxquelles il faudra joindre l’équation de condition

$\operatorname {Cos} .(\beta -\alpha )=\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta =\operatorname {Cos} .\gamma .$