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DES ÉQUATIONS.

$\left.{\begin{aligned}=ayx^{7}+ayx^{6}+&\qquad \ \ ay^{2}\\+&(2a+b)y\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{4}+&\quad \qquad ay^{2}\\+&(2a+by)y\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{3}+&\quad \qquad \qquad ay^{3}\\+&\qquad (3a+b)y^{2}\\+&(3a+2b+e)y\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x+&\qquad \qquad \qquad ay^{3}\\+&\quad \qquad (4a+b)y^{2}\\+&\quad (6a+3b+e)y\ \\+&(4a+3b+2e+h)\ \ \\\end{aligned}}\right|$

substituant cette valeur dans l’équation (3), elle prendra la forme que voici :

${\begin{aligned}\left\{ay^{2}+(a+b)y-c\right\}x^{7}+\left\{ay^{2}+(a+b)y-d\right\}x^{6}&\\+\left\{ay^{3}+(2a+b)y^{2}+(a+b+e)y-f\right\}x^{4}&\\+\left\{ay^{3}+(2a+b)y^{2}+(a+b+e)y-g\right\}x^{3}&\\\end{aligned}}\qquad$(4)

$+\left\{ay^{4}+(3a+b)y^{3}+(3a+2b+e)y^{2}+(a+b+e+h)y-k\right\}x$

$+\left\{ay^{4}+(4a+b)y^{3}+(6a+3b+e)y^{2}+(4a+3b+2e+h)y+(a+b+e+h+l)\right\}=0.$

Or, il est clair que, pourvu que $y$ soit positif, ou que $x$ soit plus grand que l’unité, la dernière ligne de cette équation sera toujours positive ; il suffira donc, pour que tout son premier membre le soit, de donner à $y$ une valeur positive qui ne rende négatif aucun des coefficiens des termes en $x$ ; or, comme tous les termes qui composent chacun de ces coefficiens sont positifs excepté le dernier, il suffira, pour satisfaire à cette condition, de prendre $y$ tel que dans aucun de ces coefficiens le premier terme ne soit moindre le dernier, ce qui revient à faire

${\begin{aligned}ay^{2}>c,\qquad ay^{3}>f,&\\ay^{2}>d,\qquad ay^{3}>g,&\\\end{aligned}}\qquad ay^{4}>k,$