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DES ÉQUATIONS.

remarquera qu’en changeant les signes des racines de la proposée, elle devient

$2x^{7}-11x^{6}-10x^{5}+26x^{4}+31x^{3}-72x^{2}-230x+348=0\,;$

or, par la règle ci-dessus, on pourra prendre pour limite supérieure des racines de cette dernière le plus grand des nombres

$1+{\frac {11}{2}}$

$1+{\frac {230}{2+26+31}}\qquad$ou$\qquad 1+{\frac {230}{59}}\,;$

ainsi, cette limite sera $7\,;$ d’où il résulte que toutes les racines réelles de la proposée sont comprises entre $+4$ et $-7.$

La méthode vulgaire, indiquée par M. Lacroix dans ses élémens, donne pour ces limites $+175$ et $-116\,;$ la méthode plus parfaite de Lagrange, adoptée par M. Francœur, donne $+20$ et $-116,$ on voit par là combien la nôtre leur est préférable. Je ne dis rien de la méthode des dérivées successives, attribuée à Mac-Laurain, laquelle n’est qu’un tâtonnement assez laborieux.

Reprenons la transformée (3). En vertu de la formule (2) on a

$ayx^{8}=ayx^{7}+ayx^{6}+ayx^{5}+ayx^{4}+ayx^{3}+ayx^{2}+ayx+ay+a.$

Mais, en vertu de la même formule les termes $ayx^{5}$ et $ayx^{2}$ peuvent être développés comme il suit :

$ayx^{5}=ay^{2}x^{4}+ay^{2}x^{3}+ay^{2}x^{2}+ay^{2}x+ay^{2}+ay,$

$ayx^{2}=\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ay^{2}x+ay^{2}+ay\,;$

ce qui donnera, en substituant et ordonnant ;