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DES ÉQUATIONS.

${\begin{aligned}ax^{9}&=ayx^{8}+ayx^{7}+ayx^{6}+ayx^{5}+ayx^{4}+ayx^{3}+ayx^{2}+ayx+ay+a,\\bx^{8}&=\ldots \ldots \ \ \ byx^{7}+byx^{6}+byx^{5}+byx^{4}+byx^{3}+byx^{2}+byx+by+b,\\ex^{5}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ \ eyx^{4}+eyx^{3}+eyx^{2}+eyx+ey+e,\\hx^{2}&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad hyx+hy+h,\\l&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ \ l.\\\end{aligned}}$

Introduisons ces développemens dans l’équation (1), rassemblant les termes adeptes des mêmes puissances de $x$, et écrivant les premiers ceux de ces termes dont le coefficient renferme une partie négative, on obtiendra la transformée

$\left\{(a+b)y-c\right\}x^{7}+\left\{(a+b)y-d\right\}x^{6}+\left\{(a+b+e)y-f\right\}x^{4}+\left\{(a+b+e)y-g\right\}x^{3}+\left\{(a+b+e+h)y-k\right\}x$

$+y\left\{ax^{8}+(a+b)x^{5}+(a+b+e)x^{2}+(a+b+e+h)\right\}+(a+b+e+h+l)=0.\quad$(3)

Or, il est clair que, pourvu qu’on ne prenne pas $y$ négatif ou, ce qui revient au même, $x$ positif plus petit que l’unité, les termes de la seconde ligne donneront toujours un résulsat positif quelque autre valeur qu’on puisse d’aillenrs prendre pour $x$ ; donc, pour que toute autre valeur, mise pour $x$ dans l’équation (1), ne donne point un résultat négatif, il suffit uniquement qu’elle ne rende point négative la première ligne de l’équation (3), ce qui arrivera infailliblement si elle ne rend négatif aucun des termes qui la composent.

Cette condition sera évidemment remplie, si l’on fait en sorte que les binômes

$(a+b)y-c,(a+b+e)y-f,(a+b+e+h)y-k,$

$(a+b)y-d,(a+b+e)y-g,$

soient positifs ; or, c’est ce qui arrivera nécessairement, si l’on ne prend pas $y$ ou $x-1$ moindre que la plus grande des fractions