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LIMITES DES RACINES

ANALISE ALGÉBRIQUE.

Théorèmes nouveaux, sur les limites extrêmes des racines
des équations numériques ;

Par M. Bret, professeur de mathématiques à la faculté
des sciences de l’académie de Grenoble.

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Pour rendre la théorie que je vais développer plus facile à saisir, je crois convenable de l’appliquer à un exemple particulier. Rien ne sera plus facile ensuite que de l’exposer d’une manière générale.

Soit donc l’équation du 9.^me degré

$ax^{9}+bx^{8}-cx^{7}-dx^{6}+ex^{5}-fx^{4}-gx^{3}+hx^{2}-kx+l=0,\quad$(1)

dans laquelle les signes sont supposés en évidence ; et proposons-nous d’obtenir une limite supérieure de ses racines.

Nous remarquerons d’abord que, quels que soient $A$ et $m,$ on a

$Ax^{m}=A\left(x^{m}-1\right)+A=A(x-1)\left(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots +x+1\right)+A$

ou, en posant pour abréger $x-1=y$ d’où $x=1+y$

$Ax^{m}=Ayx^{m-1}+Ayx^{m-2}+\ldots +Ayx+Ay+A.\qquad$(2)

Cela posé, appliquons la transformation (2) à tous les termes positifs de l’équation (1), et nous aurons