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DES DÉRIVATIONS.

(50), en transformant les lignes horizontales des équations (18) en colonnes, et réciproquement : il en est résulté que les dernières colonnes des équations (18) sont devenues les derniers termes de chaque colonne des équations (50) ; ce qui a produit les modifications des 2.^me et 3.^me parties de la règle du n.^o 15.

41. En tenant compte des observations du n.^o précédent, la formule (67) fournit le moyen de développer immédiatement un quelconque des termes (48), indépendamment des précédens : on a, en général,

(69)$\qquad nB_{n}={\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\left(c^{-n}.\operatorname {D} .\phi b\right)}{1.2\ldots (n-1)}}=$

$n{\frac {\operatorname {D} ^{n}\phi b}{1.2\ldots n}}.\left(c^{-n}\right).b_{1}^{n}+(n-1){\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\phi b}{1.2\ldots (n-1)}}.\left(c^{-n}\right).\operatorname {D} .b_{1}^{n-1}+\ldots$

$+(n-1){\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\phi b}{1.2\ldots (n-1)}}.\operatorname {D} .\left(c^{-n}\right).b_{1}^{n-1}c_{1}$

$+(n-2){\frac {\operatorname {D} ^{n-2}\phi b}{1.2\ldots (n-2)}}.\operatorname {D} .\left(c^{-n}\right).\operatorname {D} .\left(b_{1}^{n-2}c_{1}\right)+\ldots$

$+(n-2){\frac {\operatorname {D} ^{n-2}\phi b}{1.2\ldots (n-2)}}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\left(c^{-n}\right).b_{1}^{n-2}c_{1}^{2}$

$+(n-3){\frac {\operatorname {D} ^{n-3}\phi b}{1.2\ldots (n-3)}}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\left(c^{-n}\right).\operatorname {D} .\left(b_{1}^{n-3}c_{1}^{2}\right)+\ldots$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\ldots$

$+3.{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi b.{\frac {\operatorname {D} ^{n-3}\left(c^{-n}\right)}{1.2\ldots (n-3)}}.b_{1}^{3}c_{1}^{n-3}$

$+2.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b.{\frac {\operatorname {D} ^{n-3}\left(c^{-n}\right)}{1.2\ldots (n-3)}}.\operatorname {D} .\left(b_{1}^{2}c_{1}^{n-3}\right)+\ldots$

$+2.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b.{\frac {\operatorname {D} ^{n-2}\left(c^{-n}\right)}{1.2\ldots (n-2)}}.b_{1}^{2}c_{1}^{n-2}$

$+\operatorname {D} \phi b.{\frac {\operatorname {D} ^{n-2}\left(c^{-n}\right)}{1.2\ldots (n-2)}}.\operatorname {D} .\left(b_{1}c_{1}^{n-2}\right)$

$+\operatorname {D} \phi b.{\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\left(c^{-n}\right)}{1.2\ldots (n-1)}}.b_{1}c_{1}^{n-1}$

$\ldots +3.{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi b.\left(c^{-n}\right).{\frac {\operatorname {D} ^{n-3}b_{1}^{3}}{1.2\ldots (n-3)}}+2.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b.\left(c^{-n}\right).{\frac {\operatorname {D} ^{n-2}.b_{1}^{2}}{1.2\ldots (n-2)}}$

$+\operatorname {D} \phi b.\left(c^{-n}\right).{\frac {\operatorname {D} ^{n-1}.b_{1}^{3}}{1.2\ldots (n-1)}}$

$\ldots +2.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b.\operatorname {D} \left(c^{-n}\right).{\frac {\operatorname {D} ^{n-3}\left(b_{1}^{2}c_{1}\right)}{1.2\ldots (n-3)}}$

$+\operatorname {D} \phi b.\operatorname {D} \left(c^{-n}\right).{\frac {\operatorname {D} ^{n-2}\left(b_{1}c_{1}\right)}{1.2\ldots (n-2)}}$

$\ldots +\operatorname {D} \phi b.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\left(c^{-n}\right).{\frac {\operatorname {D} ^{n-3}\left(b_{1}c_{1}^{2}\right)}{1.2\ldots (n-3)}}$