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DES DÉRIVATIONS.

que les dernières colonnes des équations (18). Or, le produit (65) s’effectuant comme le produit (13), avec la seule différence qu’à la place de $a$ et de $b,$ il faut écrire $\phi a$ et $\psi b,$ et $\operatorname {D} .\phi a=\operatorname {D} \phi a_{1},$ $\operatorname {D} .\psi b=\operatorname {D} \psi b.b_{1},\ldots$ à la place de $\operatorname {D} a,\operatorname {D} b,\ldots \,;$ ; il s’ensuit que, pour déduire la dernière colonne de $A_{n+1}$ de celle de $A_{n}$ [équations (18)], il faut faire varier $\psi b$ dans tous les termes de cette colonne, et de plus faire varier $\phi a$ dans le dernier terme ${\frac {\operatorname {D^{n}} \phi a}{1.2.3\ldots n}}.\psi b.a_{1}^{n}$ de cette même colonne. Les deux premières parties du n.^o 15 se trouvent donc démontrées.

Les $n$ autres colonnes qui composent $A_{n+1}$ n+l ne peuvent donc provenir que de la variation des quantités polynômiales $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ c’est-à-dire, de la substitution de $a_{1}+a_{2}x$ pour $a_{1},$ de $a_{2}+a_{3}x$ pour $a_{2},$ de $b_{1}+b_{2}x$ pour $b_{1},$ de $b_{2}+b_{3}x$ pour $b_{2},\ldots ,$ dans les termes précédens. Il faut donc appliquer ici la règle du n.^o 8, modifiée par la coexistance de deux polynômes indépendans, c’est-à-dire, par la règle du n.^o 12 ; ce qui constitue la première partie de la règle du n.^o 15. Cette règle se trouve donc entièrement justifiée.

38. Passons maintenant au développement immédiat, et indépendant des termes qui précèdent, d’un terme quelconque de l’équation (15), ou du terme général $A_{n}={\frac {\operatorname {D} ^{n}(\phi a.\psi b)}{1.2\ldots n}}.$

En effectuant complètement le développement indiqué par la dernière des équations (17), d’après les n.^os 34 et 35, et l’ordonnant selon la somme des exposans de dérivation, relatifs à $\phi a$ et $\psi b,$ on peut le mettre sous la forme suivante :

(67)${\frac {\operatorname {D} ^{n}.(\phi a.\psi b)}{1.2\ldots n}}={\frac {\operatorname {D} ^{n}\phi a}{1.2\ldots n}}.\psi b.a_{1}^{n}+{\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\phi a}{1.2\ldots (n-1)}}.\psi b.\operatorname {D} .a_{1}^{n-1}+\ldots$

$+{\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\phi a}{1.2\ldots (n-1)}}.\operatorname {D} \psi b.a_{1}^{n-1}b_{1}+{\frac {\operatorname {D} ^{n-2}\phi a}{1.2\ldots (n-2)}}.\operatorname {D} \psi b.\operatorname {D} .\left(a_{1}^{n-2}b_{1}\right)+\ldots$