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CALCUL

par $4,$ exposant de $\mathrm {a_{1}} ,$ et diminuer cet exposant d’une unité ; ce qui donne $4a_{1}^{3}a_{2}\,;$ appliquant ensuite la règle du n.^o 8 à ce terme ainsi préparé, on trouve $4a_{1}^{3}a_{3}+{\tfrac {4.3}{2}}a_{1}^{2}a_{2}^{2}.$ Pour déduire de cette dérivée celle ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{1}^{3},$ il faut diviser le tout par $4$, multiplier respectivement les deux termes par $3$ et $2,$ exposans de $a_{1}$ et diminuer ces exposans d’une unité ; ce qui donne $3a_{1}^{2}a_{3}+3a_{1}a_{2}^{2}\,:$ appliquant la règle du n.^o 8, on obtient $3a_{1}^{2}a_{4}+2.3a_{1}a_{2}a_{3}+a_{2}^{3}.$ Pour déduire de cette dernière celle ${\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}.a_{1}^{2},$ il faut diviser le tout par $3,$ multiplier les trois termes respectivement par $2,1,0,$ exposans de $a_{1},$ et diminuer ces exposans d’une unité ; ce qui donne $2a_{1}a_{4}+2a_{2}a_{3}\,:$ appliquant la règle du n.^o 8, on obtient $2a_{1}a_{5}+2a_{2}a_{4}+a_{3}^{2}.$ Enfin, pour déduire de cette dérivée celle ${\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}.a_{1},$ il faut diviser tous les termes par $2,$ les multiplier respectivement par $1,0,0,$ exposans de $a_{1},$ et diminuer ces exposans d’une unité ; ce qui donne $a_{5},$ dont la dérivée est $a_{6},$ d’après la règle du n.^o 8. En rassemblant tous ces termes, et les multipliant par leurs coefficiens respectifs (61), on aura le développement de $A_{6},$ écrit en sens inverse.

L’énoncé de ces opérations peut paraître un peu long ; mais leur exécution est très-expéditive. Après s’être exercé à calculer quatre ou cinq termes, on en a tellement l’habitude qu’il n’en coûte plus, pour ainsi dire, que la peine de les écrire.

36. Remarque. La règle précédente donne non seulement le moyen d’écrire immédiatement le coefficient d’une puissance quelconque de $x$, dans le développement de $\phi (a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ),$ mais encore une partie quelconque de ce coefficient, sans calculer le reste. Ainsi, si l’on demande le coefficient de ${\frac {\operatorname {D} ^{r}\phi a}{1.2\ldots r}},$ dans le développement de $A_{n}={\frac {\operatorname {D} ^{n}.\phi a}{1.2\ldots n}},$ l’équation (61) indiquera que ce coefficient est ${\frac {\operatorname {D} ^{n-r}.a_{1}^{r}}{1.2\ldots (n-r)}},$ dont le développement peut s’exécuter immédiatement, d’après la règle précédente et l’équation (61). Cette observation peut avoir les applications les plus utiles, dans la théorie des hasards, et dans celle de la partition des nombres. Nous avons vu au n.^o 10 que le