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DES DÉRIVATIONS.

les n.^os 6 et 7, $\operatorname {D} .\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{1},\operatorname {D} ^{2}.\phi a=\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2},\operatorname {D} ^{3}.\phi a=$$\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3},$$\ldots$ En substituant ces valeurs dans l’équation (25), on obtient

(53)$\qquad \phi \left(a+a_{1}x\right)=\phi a+\operatorname {D} \phi a.a_{1}x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.a_{1}^{2}x^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}x^{3}+\ldots \,;$

résultat identique avec celui qu’on aurait obtenu en mettant $a_{1}x$ à la place de $x$ dans le théorème de Taylor.

Supposons maintenant que $a_{1}$ devienne $a_{1}+a_{2}x$ : les puissances de $a_{1}$ se changeront en puissances de $a_{1}+a_{2}x$ qui, étant elles-mêmes des fonctions de binôme, peuvent être développées comme les équations (52) et (53) ; mais, dans ce cas, ces formules se termineront, parce que $\operatorname {D} a_{1}=a_{2},$$\operatorname {D} ^{2}a_{1}=0,\ldots$ donnent, en général, ${\frac {\operatorname {D} ^{n}.a_{1}^{n}}{1.2\ldots n}}=\left(\operatorname {D} a_{1}\right)^{n}=a_{2}^{n},$ et $\operatorname {D} ^{n+1}.a_{1}^{n}=0.$ Substituant donc, avec cette attention, $a_{1}+a_{2}x$ pour $a_{1},$ dans l’équation (53), on obtient

$\phi \left\{a+x\left(a_{1}+a_{2}x\right)\right\}=\phi a+\operatorname {D} \phi a\left(a_{1}+\operatorname {D} a_{1}x\right)x$

$+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a\left(a_{1}^{2}+\operatorname {D} .a_{1}^{2}x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{2}.x^{2}\right)x^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a\left(a_{1}^{3}+\operatorname {D} .a_{1}^{3}x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{3}.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{1}^{3}.x^{3}\right)x^{3}+\ldots$

En effectuant les dérivations indiquées, d’après les règles ordinaires de la différentiation, et remplaçant $\operatorname {D} a_{1}$ par $a_{2},$ cette équation devient

$\phi \left\{a+x\left(a_{1}+a_{2}x\right)\right\}=\phi a+\operatorname {D} \phi a\left(a_{1}+a_{2}x\right)x$

$+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a\left(a_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}x+.a_{2}^{2}x^{2}\right)x^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a\left(a_{1}^{3}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{1}a_{2}^{2}.x^{2}+a_{2}^{3}.x^{3}\right)x^{3}+\ldots$

En ordonnant cette équation par rapport aux puissances de $x,$ on obtient

(54)$\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=\phi a+\operatorname {D} \phi a.a_{1}x+\left(\operatorname {D} \phi a.a_{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2}\right)x^{2}$

$+\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.2a_{1}a_{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}\right)x^{3}$

$+\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{2}^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.3a_{1}^{2}a_{2}+{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.a_{1}^{4}\right)x^{4}+\ldots$

Si l’on suppose ensuite que $a_{2}$ devienne $a_{2}+a_{3}x,$ l’équation précédente deviendra, d’après les mêmes principes,

$\phi \left\{a+a_{1}x+x^{2}\left(a_{2}+a_{3}x\right)\right\}=\phi a+\operatorname {D} \phi a.a_{1}x$

$+\left\{\operatorname {D} \phi a\left(a_{2}+\operatorname {D} a_{2}.x\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2}\right\}x^{2}$

$+\left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.2a_{1}\left(a_{2}+\operatorname {D} a_{2}.x\right)+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}\right\}x^{3}$

$+\left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(a_{2}^{2}+\operatorname {D} .a_{2}^{2}.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{2}^{2}x^{2}\right)\right.$

$\left.+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.3a_{1}^{2}\left(a_{2}+\operatorname {D} a_{2}.x\right)+{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.a_{1}^{4}\right\}x^{4}+\ldots$