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CALCUL

pendance est la même que celle du changement de la variable principale, dans la différentiation d’une fonction de deux variables.

Article III.

Démonstration des règles de développement, et règles
pour écrire immédiatement un terme quelconque des
développemens, tant direct que de retour.

31. Les règles des n.^os 8, 15 et 28 ne sont que des conclusions d’induction, tirées de l’examen de la formation successive des termes d’un développement ; et, sous ce rapport, elles peuvent laisser-quelque doute sur l’exactitude des résultats qu’elles fournissent. Il est donc nécessaire de démontrer ces règles, afin que le calcul de dérivations soit non seulement un instrument commode et expéditif, mais encore sûr et rigoureux.

Ces mêmes règles n’offrent que le moyen de former successivement les termes du développement, en déduisant chacun de celui qui le précède ; de sorte que, pour avoir, par exemple, le vingtième terme du développement, il faut calculer auparavant les dix-neuf qui sont à sa gauche. Mais souvent on n’a besoin que d’un terme assez éloigné de l’origine du développement pour que le calcul préalable de tous ceux qui le précèdent exige une perte de temps aussi considérable qu’inutile à l’objet qu’on a en vue. Il est donc essentiel d’avoir le moyen de former immédiatement un terme quelconque, indépendamment de tous ceux qui seraient avant lui.

Tels sont les deux objets que nous nous proposons de remplir dans cet article.

32. Si, dans le polynôme $a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots ,$ on suppose $a_{2}=0,\ a_{3}=0,\ldots ,$ l’équation (7) deviendra

(52)$\phi (a+a_{1}x)=\phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a.x^{3}+\ldots \,;$

mais, par la supposition que nous venons de faire, on a [équations (3)], $\operatorname {D} a=a_{1},\operatorname {D} ^{2}a=0,\operatorname {D} ^{3}a=0,\ldots \,;$ ce qui donne, d’après