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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

${\begin{aligned}&+2(Aa+C'b+B'c+A'')x\\&+2(C'a+Bb+A'c+B'')y\\&+2(B'a+A'b+Cc+C'')z\\\end{aligned}}$

$+D-Aa^{2}-Bb^{2}-Cc^{2}-2A'bc-2B'ca-2C'ab=0\,;$

posant, pour abréger,

$Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+2A'bc+2B'ca+2C'ab-D=\Delta ,$

et remarquant qu’en vertu des équations (7) les coefficiens des premières puissances de $x,y,z$ sont nuls, elle deviendra simplement

$A(x-a)^{2}+B(y-b)^{2}+C(z-c)^{2}$

$+2A'(y-b)(z-c)+2B'(z-c)(x-a)$

$+2C'(x-a)(y-b)=\Delta .\qquad$(23)

Cela posé, si, dans les équations (21) et (23), on introduit, pour $x-a$ et $y-b$ les valeurs données par les équations (22), elles deviendront

$\left.{\begin{aligned}(z-c)^{2}&\left\{1+m^{2}+n^{2}+2n\operatorname {Cos} .\alpha +2m\operatorname {Cos} .\beta +2mn\operatorname {Cos} .\gamma \right\}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =r^{2},\\(z-c)^{2}&\left\{C+Am^{2}+Bn^{2}+2A'n+2B'm+2C'mn\right\}=\Delta \,;\\\end{aligned}}\right\}$(24)

équations entre lesquelles éliminant $(z-c)^{2}$, il viendra