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DISCUSSION DES LIGNES.

Or, en éliminant $m'-m''$ entre les équations (16) et (18), et $n''-n'$ entre les équations (17) et (19), $m'n''-n'm''$ disparaîtra de lui-même des équations résultantes, et elles seront

$\left.{\begin{aligned}(m\operatorname {Cos} .\gamma +n&+\operatorname {Cos} .\alpha )(B'm+A'n+C)\\-&(m\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\alpha +1)(C'm+Bn+A')=0,\\(m+n\operatorname {Cos} .\gamma &+\operatorname {Cos} .\beta )(B'm+A'n+C)\\-&(m\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\alpha +1)(Am+C'n+B')=0\,;\\\end{aligned}}\right\}$(20)

De ces deux équations on déduirait une équation finale en $m,$ qui serait du troisième degré seulement, et dont par conséquent les racines seraient les valeurs de $m,m',m''.$ On aurait de plus une valeur de $n$ fonction de $m,$ laquelle deviendrait $n'$ et $n'',$ en y changeant $m$ en $m'$ et $m''$ mais il sera plus convenable d’opérer comme il suit.

Soient $x,y,z$ les coordonnées de l’un quelconque des sommets de la surface courbe, et $r$ sa distance au centre ou la longueur du demi-diamètre principal qui lui répond ; en continuant, pour abréger, de représenter par $a,b,c$ les coordonnées du centre, données par les formules (9), nous aurons, à la fois,

$\left.{\begin{aligned}&(x-a)^{2}+2(y-b)(z-c)\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(y-b)^{2}+2(z-c)(x-a)\operatorname {Cos} .\beta \\+&(z-c)^{2}+2(x-a)(y-b)\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=r^{2}\,;\qquad$(21)

$x-a=m(z-c),\qquad y-b=n(z-c)\,;\qquad$(22)

en outre l’équation (1) peut facilement être mise sous cette forme

$A(x-a)^{2}+B(y-b)^{2}+C(z-c)^{2}$

$+2A'(y-b)(z-c)+2B'(z-c)(x-a)+2C'(x-a)(y-b)$