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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

Telles sont donc les équations qui, combinées avec les équations (6), feront connaître $m$ et $n,\ m'$ et $n',\ m''$ et $n'';$ et, comme ces trois couples de quantités y entrent symétriquement, on est en droit d’en conclure qu’elles doivent dépendre d’une même équation du troisième degré, et que conséquemment les surfaces du second ordre n’ont qu’un système unique de diamètres principaux ; c’est ce que le calcul va confirmer.

Si l’on prend successivement la différence des produits respectifs de la première et de la dernière des équations (6) par $m''$ et $m$ et par $n''$ et $n,$ les équations résultantes pourront être écrites ainsi :

$(B'm+A'n+C)(m'-m'')$

$+(C'm+Bn+A')(m'n''-n'm'')=0,\qquad$(16)

$(B'm+A'n+C)(n''-n')$

$+(Am+C'n+B')(m'n''-n'm'')=0,\qquad$(17)

En opérant exactement de la même manière sur la première et sur la dernière des équations (15), les deux équations résultantes pourront être mises sous cette forme :

$(m\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\alpha +1)(m'-m'')$

$+(m\operatorname {Cos} .\gamma +n+\operatorname {Cos} .\alpha )(m'n''-n'm'')=0,\qquad$(18)

$(m\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\alpha +1)(n''-n')$

$+(m+n\operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .\beta )(m'n''-n'm'')=0.\qquad$(19)

$(a',b',c'),$ pris respectivement sur ces deux droites, sont les extrémités de l’hypothénuse d’un triangle rectangle dont le sommet de l’angle droit est à l’origine. Cette condition donnera, comme dans la note précédente ;

$aa'+bb'+cc'+(bc'+cb')\operatorname {Cos} .\alpha +(ca'+ac')\operatorname {Cos} .\beta +(ab'+ba')\operatorname {Cos} .\gamma \,;$

mais on aura ici

$a=mc,\qquad b=nc,\qquad a'=m'c',\qquad b'=n'c'\,;$

ce qui donnera, en substituant et divisant par $cc',$ la première des équations mentionnées dans le texte.