Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/83

77

ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

sous laquelle la discussion en deviendra incomparablement plus facile^[1].

Mais tout ceci suppose que les équations (7) donnent pour $x,y,z$ des valeurs finies et déterminées ; en les résolvant par rapport à ces inconnues, on obtient

$\left.{\begin{aligned}x&={\frac {A''(A'^{2}-BC)+B''(CC'-A'B')+C''(BB'-C'A')}{ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'}},\\y&={\frac {B''(B'^{2}-CA)+C''(AA'-B'C')+A''(CC'-A'B')}{ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'}},\\z&={\frac {C''(C'^{2}-AB)+A''(BB'-C'A')+B''(AA'-B'C')}{ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'}}.\\\end{aligned}}\right\}\$(9)

Or, si l’on a

$\mathrm {ABC} -AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'=0,$

la surface n’aura point de centre ; ou, pour mieux dire, son centre se trouvant à une distance infinie, ne pourra être pris pour origine. Si une seule des coordonnées du centre était indéterminée, chacune des équations (7) se trouverait comportée par les deux autres, et la surface aurait une infinité de centres, situés sur une droite donnée par le système de deux quelconques de ces équations. Si deux des coordonnées du centre se trouvaient indéterminées, la troisième le serait aussi, alors les trois équations (7) ne seraient point

1. On remarquera sans doute que la démonstration de la possibilité de ramener l’équation à cette forme, par un choix convenable des coordonnées, assez difficile à établir, dans les autres systèmes de discussion, même en supposant les coordonnées primitives rectangulaires, se présente, pour ainsi dire, d’elle-même celui-ci.