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DISCUSSION DES LIGNES.

$C^{2}=AB,\qquad BA'=CB',\qquad AB'=CA',\qquad$ (14)

dont chacune est comportée par les deux autres, les deux équations (11) rentreraient l’une dans l’autre ; la courbe aurait donc une infinité de centres situés sur l’une ou l’autre de ces droites.

Soient $x',y'$ les coordonnées de l’un quelconque des points de la courbe, en sorte qu’on ait

$Ax'^{2}+By'^{2}+2Cx'y'+2A'x'+2B'y'+D=0;\qquad$(15)

en désignant pour abréger par $a,b$ les coordonnées du centre, l’équation du diamètre passant par ce point sera

$y-y'={\frac {y'-b}{x'-a}}(x-x').\qquad$(16)

Si, par le même point, on mène une parallèle au conjugué de ce diamètre, son équation sera, en vertu de l’équation (6),

$\left\{A(x'-a)+C(y'-b)\right\}(x-x')$

$+\left\{C(x'-a)+B(y'-b)\right\}(y-y')=0.\qquad$(17)

Mais, en vertu des équations (11), on a

${\begin{aligned}-Aa-Cb&=A',\\-Ca-Bb&=B';\\\end{aligned}}$

en conséquence, l’équation (17) deviendra

$(Ax'+Cy'+A')(x-x')+(By'+Cx'+B')(y-y')=0;$

ou, en développant et transposant,

$(By'+Cx'+B')y+(Ax'+Cy'+A')x$

$=Ax'^{2}+By'^{2}+2Cx'y'+A'x'+B'y'.$