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QUESTIONS

et telles sont les équations qui donnent la situation du mobile à chaque instant ; on en tire

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=b+4{\sqrt {g}}e^{t{\sqrt {g}}}.{\frac {1-6e^{2t{\sqrt {g}}}+e^{4t{\sqrt {g}}}}{\left(1+e^{2t{\sqrt {g}}}\right)^{3}}},$

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=-16{\sqrt {g}}e^{2t{\sqrt {g}}}.{\frac {1-e^{2t{\sqrt {g}}}}{\left(1+e^{2t{\sqrt {g}}}\right)^{3}}};$

l’élimination de $\operatorname {d} t$ et de $e^{t{\sqrt {g}}}$ entre ces deux équations et la valeur de $y$ donnerait l’équation différentielle de la trajectoire ; mais cette équation serait probablement fort compliquée.

Si l’on fait $t=0,$ on trouve $x=0,y=-1,{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=0,$ ce qui prouve que les constantes sont déterminées conformément aux conditions particulières de la question.

Si l’on égale la valeur de $y$ à zéro, il vient

$e^{4t{\sqrt {g}}}-6e^{2t{\sqrt {g}}}+1=0,$

d’où

$e^{2t{\sqrt {g}}}=3\pm 2{\sqrt {2}}$

et par conséquent

$t={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}Log.(3\pm 2{\sqrt {2}}),$

ce qui donne pour $\mathrm {t}$ deux valeurs, l’une positive et l’autre négative, c’est-à-dire, antérieure à l’époque d’où on compte les temps.