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GRANDEUR ET DIRECTION, ETC,

$+D^{2}\left\{{\begin{aligned}&A\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2A'(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\+&B\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2B'(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\+&C\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2C'(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \\\end{aligned}}\right\}r^{2}$

$-D^{3}(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )=0.$

et leur direction est donnée (3) par le concours de deux quelconques des trois équations

${\begin{aligned}(Ar^{2}-D)x+(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta )z+(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma )y&=0,\\(Br^{2}-D)y+(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma )x+(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha )z&=0,\\(Cr^{2}-D)z+(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\delta )y+(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta )x&=0.\\\end{aligned}}$

En raisonnant comme nous l’avons fait ci-dessus on trouvera que l’équation

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=0$

est celle de la surface conique asymptotique de la surface proposée ; mais que, pour qu’elle puisse signifier quelque chose, il faut qu’on ait

$ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'>0\,;$

ainsi, ce cas est le seul où la surface proposée ait une surface conique asymptotique.

III. Quelque simple et élégante que puisse paraître la précédente analise, nous pensons que, dans un traité élémentaire de géométrie analitique, on doit lui préférer encore soit la discussion donnée par M. Gergonne, à la page 61 de ce volume soit celle que nous avons donnée nous-même, par la transformation des coordonnées, (tome II, page 33, et tome IV, page 93), et où nous avons fait connaître pour la première fois l’équation qui donne les longueurs des diamètres principaux des surfaces du second ordre, en fonction des coefficiens de l’équation primitive.