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QUESTIONS

$D^{2}+E^{2}+F^{2}-K(A+B+C)=0,$

ou encore

$(Ax+A')^{2}+(By+B')^{2}+(Cz+C')^{2}$

$-(A+B+C)\left(Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'x+2B'y+2C'z\right)=0,$

ou enfin, en développant et ordonnant

$\left.{\begin{aligned}&A(B+C)x^{2}+B(C+A)y^{2}+C(A+B)z^{2}\\+2&A'(B+C)x+2B'(C+A)y+2C'(A+B)z\\\end{aligned}}\right\}=A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}.$(9)

Telle est l’équation de la surface cherchée.

PROBLÈME II. Quelle surface décrit le sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile, dont les faces sont assujetties à être perpétuellement tangentes à une même surface donnée du second ordre ?

Solution. L’équation du plan tangent à la surface (8), par un point de cette surface dont les coordonnées sont $X',Y',Z'$ est

$(AX'+A')X+(BY'+B')Y+(CZ'+C')Z$

$+A'X'+B'Y'+C'Z'=0\,;\qquad$(10)

les trois coordonnées $X',Y',Z'$ étant liées entr’elles parla relation

$AX'^{2}+BY'^{2}+CZ'^{2}+2A'X'+2B'Y'+2C'Z'=0,$

laquelle peut être écrite ainsi

$BC(AX'+A')^{2}+CA(BY'+B')^{2}+AB(CZ'+C')^{2}$

$=BCA'^{2}+CAB'^{2}+ABC'^{2}.\qquad$(11)

Mais l’équation du plan de la face, $r'r''$ est (7)

$aX+bY+cZ-(ax+by+cz)=0\,;\qquad$(12)

si donc on veut exprimer que cette face est tangente à la surface du second ordre, il faudra écrire que les équations (10) et (12) ne diffèrent au plus que par un facteur, ce qui donnera