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SUR L’INTERPOLATION.

et comme d’ailleurs il existe déjà une convention antérieurement établie sur l’évaluation des puissances fractionnaires ; rien n’empêche d’admettre cette équation comme équation générale de définition de ces sortes de fonctions, quel que soit $x$ ; mais, rien ne s’oppose non plus à ce qu’on en adopte toute autre, car il en existe une infinité qui peuvent remplir le même but.

Si l’on pose, dans ce cas,

$\varphi x=y_{x},$

il viendra

$y_{x+1}={\frac {1}{a+y_{x}}},$

et par conséquent

$y_{x+1}-y_{x}\qquad$ou$\qquad \Delta y={\frac {1-ay-y^{2}}{a+y}}.$

IV. On pourrait parcourir successivement tant d’autres sortes de fonctions qu’on voudrait, que l’on parviendrait toujours également aux conclusions suivantes : 1.^o le problème de l’interpolation ne peut offrir de difficulté que lorsqu’il est relatif à une fonction qui, sous sa forme primitive, n’est évaluable, intelligible et même exprimable que pour certaines valeurs déterminées (quoiqu’en nombre infini) du sujet de cette fonction ; 2.^o l’art de le résoudre consiste, en général, à mettre la fonction proposée sous quelque autre forme qui, équivalente à la première, pour les cas où celle-ci est immédiatement évaluable, puisse être, contrairement à elle, également évaluée, du moins par approximation, dès qu’on attribuera au sujet une valeur quelconque, autre que celles-là seules pour lesquels la première pouvait être évaluée ; 3.^o ce problème est, généralement parlant, susceptible d’une infinité de solutions, sans que l’on puisse assigner à aucune d’entre elles d’autre motif de préférence sur les autres que de pures raisons de convenance ou de simplicité.

Le problème de l’interpolation, envisagé géométriquement, revient évidemment à trouver l’expression générale de l’ordonnée d’une courbe assujettie à passer par une infinité de points donnés, se