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RÉFLEXIONS

$\left({\frac {p}{q}}\right)a={\frac {pa}{q}}+A\operatorname {Sin} .{\frac {p\varpi }{q}},$

$A$ étant un nombre entier quelconque, et $\varpi$ la moitié de la circonférence dont le rayon est l’unité^[1].

Si, changeant $m$ et $x,$ on écrit

$y_{x}=xa,$

on aura

$y_{x+1}=(x+1)a=xa+a,$

c’est-à-dire,

$y_{x+1}=y_{x}+a,$

autre équation de définition, d’où on tire

$y_{x+1}-y_{x}{\text{ ou }}\Delta y=a.$

Si l’on veut appliquer à ceci des considérations géométriques ; on verra que l’on peut envisager $a,2a,3a,\ldots ma,\ldots$ comme les ordonnées d’une suite de points isolés, dont les abscisses correspondantes sont $1,2,3,\ldots m,\ldots \,;$ et que le problème de l’évaluation de $xa$ se réduit à faire passer par tous ces points une ligne continue quelconque, et à chercher ensuite l’ordonnée de cette ligne qui répond à l’abscisse $x\,;$ or, ce problème est susceptible d’une infinité de solutions, comme le prouve l’équation $yx=xa+A\operatorname {Sin} .\varpi \,;$ et l’emploi de la ligne droite, qui conduit à l’équation de définition

1. Dans le vrai, l’équation de définition $\left({\frac {p}{q}}\right)a={\frac {pa}{q}}$ a été empruntée de l’arithmétique ; mais il convient ici à mon but de supposer que l’invention de l’arithmétique n’a point précédé celle de l’algèbre.

   On aurait pu admettre, comme équivalente à la précédente, l’équation de définition

   $ma+na=(m+n)a\qquad$ ou $\varphi m+\varphi n=\varphi (m+n),$

   de laquelle on aurait ensuite déduit l’autre, à peu près comme Euler démontre la formule du binôme, pour l’exposant fractionnaire, à l’aide de l’équation $\mathrm {\varphi } m\times \varphi n=\varphi (m+n).$