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ANALISE

$5\gamma _{5}=\lambda _{6}-2\lambda _{7}+3\lambda _{8}-4\lambda _{9}+\ldots$

et, en général,

$m\gamma _{m}=\lambda _{m+1}-2\lambda _{m+2}+3\lambda _{m+3}-4\lambda _{m+4}+\ldots$

Nous pouvons remarquer que l’équation (O) donne, en vertu de $\Lambda (n-1)=n-2+\Lambda (1-n),$ (n.^o 6)

$\operatorname {Log} .n=\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\Lambda (n-1)+(n-1)\,;$

mais

$\operatorname {Log} .n=-\operatorname {Log} .\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\operatorname {Log} .(n-1)\,;$

donc

$0=\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\operatorname {Log} .\left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\Lambda (n-1)-\operatorname {Log} .(n-1)+(n-1)$

ou, en reprenant l’expression de M,

$\mathrm {M} {\frac {n}{n+1}}=\mathrm {M} n-n.$

9. M. Kramp a fait voir que $\Gamma 1=1-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} .(2\varpi ),$ (Annales, tom. 3, pag. 11). On pourra encore calculer ce même nombre en faisant $n=-1,$ dans l’équation (M), ce qui donnera

$\Gamma 1=\gamma _{1}-\gamma _{2}+\gamma _{3}-\gamma _{4}+\ldots$

10. La suite $\Gamma 1=\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ présente les mêmes irrégularités que celle des coefficiens $\lambda$, comme les valeurs suivantes le font voir

${\begin{aligned}\Gamma 1=+0,08106146679,&\qquad \gamma _{9}=+0,000005266.,\\\gamma _{1}=+0,07721566490,&\qquad \gamma _{10}=-0,000002837..,\\\gamma _{2}=-0,00474863148,&\qquad \gamma _{11}=+0,000001163..,\\\gamma _{3}=-0,00036610089,&\qquad \gamma _{13}=-0,000000293..,\\\gamma _{4}=+0,000376007.3,&\qquad \gamma _{13}=-0,000000062..,\\\gamma _{5}=-0,0001430118.,&\qquad \gamma _{14}=+0,00000016...,\\\gamma _{6}=+0,0000339978.,&\qquad \gamma _{15}=-0,00000014...,\\\gamma _{7}=+0,0000004832.,&\qquad \gamma _{16}=+0,00000010...,\\\gamma _{8}=-0,0000067778.,&\qquad \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$