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PROBLÈMES.

${\begin{aligned}n\ c=&\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi ,\\d{\sqrt {n^{3}}}=&\operatorname {Sin} .\psi (1+\mu \operatorname {Cos} .\phi )\\\end{aligned}}$

Il sera très-facile, dans cette supposition, d’exprimer les angles $\mu ,\phi ,\psi ,$ en $n,$ de la manière suivante :

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .^{2}\phi =&{\frac {na^{3}b(2c-nb)}{a^{3}c+(nb-c)^{2}c^{2}}},\\\operatorname {Sin} .^{2}\psi =&{\frac {nc^{2}(a^{2}+c^{2})}{b(2c-nb)}},\\\operatorname {Sin} .^{2}\mu =&{\frac {nb(2c-nb)}{a^{2}+c^{2}}}\,;\\\end{aligned}}$

et substituant, on aura pour $n,$ qui forme la principale inconnue du problème, l’expression très-simple qui suit :

$n={\frac {2cd^{2}-\left(a^{2}+c^{2}\right)b}{bd^{2}}}.$

103. Cette expression nous fait connaître, sur-le-champ, les trois cas de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole. Tant qu’on aura $2cd^{2}>(a^{2}+c^{2})b,$ le grand axe de l’orbite, sera positif, ce qui indique l’ellipse. Dans le cas opposé, de $2cd^{2}<(a^{2}+c^{2})b,$ l’axe, devenu négatif indiquera l’hyperbole. On reconnaîtra la parabole à ce qu’on aura alors $2cd^{2}=(a^{2}+c^{2})b.$ Le cercle se reconnaîtra sur-le-champ à l’égalité des trois rayons vecteurs, qui sont proportionnels aux radicaux $R,R',R'',$ ou bien $O,O',O''.$ On aura, dans ce dernier cas, $\operatorname {Sin} .\mu =0,$ et $\operatorname {Cos} .\mu =1$ ; ce qui donne

${\begin{aligned}n^{2}b=&\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\psi ),\\n\ c=&\operatorname {Sin} .\psi ,\\d{\sqrt {n^{3}}}=&\operatorname {Sin} .\psi \,;\\\end{aligned}}$

ce qui fournira, entre les trois quantités $b,c,d,$ l’équation de condition $d^{4}=(b^{2}+c^{2})c^{4}.$