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D’ASTRONOMIE.

${\begin{aligned}n\ c=&\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi ,\\d{\sqrt {n^{3}}}=&\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi \operatorname {Sin} .\psi .\\\end{aligned}}$

101. Pour tirer de ces quatre équations les valeurs numériques de nos quatre inconnues, dans des cas quelconques, et sans aucun emploi de moyens approximatifs, il faut employer les fausses positions. Ainsi, supposant une valeur quelconque à l’angle $\phi ,$ la première et la troisième équations nous fourniront ${\frac {a}{c}}=\operatorname {Tang} .\mu \operatorname {Sin} .\phi$ ; ce qui fera connaître l’excentricité $\mu .$ Divisant de même le quarré de la troisième par la seconde, on aura

${\frac {c^{2}}{b}}={\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi }},$

ou

$b\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi -c^{2}\operatorname {Cos} .\psi =c^{2}\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi ,$

d’où l’on tirera facilement l’angle $\psi ,$ moyennant un nouvel angle, tel que $\operatorname {Tang} .\lambda ={\frac {c^{2}}{b\operatorname {Cos} .\mu }},$ et qui fournira $\operatorname {Sin} .(\psi -\lambda )=\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi .$ On aura ensuite

$n={\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi }{c}}\,;$

et les quatre inconnues étant ainsi supposées connues, on en fera l’épreuve sur la quatrième équation ; on aura soin de noter l’erreur qui en sera résultée, et qui conduira à une seconde position plus approchante que l’autre.

102. On pourra cependant se passer de l’emploi des faussas positions, dans le cas où les observations sont assez rapprochées pour que, sans erreur sensible, on puisse faire $\operatorname {Sin} .\psi =\psi ,$ et $\operatorname {Cos} .\psi =1.$ Nos quatre équations deviendront alors

${\begin{aligned}n\ a=&\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Sin} .\psi ,\\n^{2}b=&\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi ),\\\end{aligned}}$