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ne pourrait jamais devenir nulle ; et, de toutes les valeurs de $\mathrm {KP} ,$ il y en aurait nécessairement une qui serait plus petite que toutes les autres. Nommons donc $z$ la valeur de $x$ qui donnerait ce minimum ; on ne pourrait pas avoir

$y'_{(\xi +i)}<y'_{\xi },$

quelle que fût la quantité $i.$

Or, par le développement, on a

(A)$\quad y_{(\xi +i)}=y_{\xi }+\left\{nz^{n-1}+(n-1)z^{n-2}+\ldots +f\right\}i$

$+\left\{{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}z^{2}+\ldots \right\}i^{2}+\ldots +(nz+a)i^{n-1}+i^{n}.$

Comme les coefficiens des différentes puissances de $i$ peuvent être nuls, et que ce cas demanderait des considérations particulières, il conviendra de traiter la question d’une manière générale, en représentant l’équation précédente par

(B)$\quad y_{(\xi +i)}=y_{\xi }+Ri^{r}+Si^{s}+\ldots +Vi^{v}+i^{n}\,;$

de manière qu’aucun des coefficiens $R,S,\ldots V$ ne soit nul, et que les exposans $r,s,\ldots v,$ aillent en augmentant. Il faut remarquer que, si tous les coefficiens de (A) étaient nuls, l’équation (B) se réduirait à $y_{(\xi +i)}=y_{\xi }+i^{n}.$ Faisant donc $i{\sqrt[{n}]{-y_{\xi }}},$ on aurait $y_{(\xi +i)}=0,$ et le théorème serait démontré pour ce cas dont on peut, par conséquent, faire abstraction dans ce qui va suivre. Ainsi nous supposerons que le second membre de l’équation (B) a au moins trois termes.

Cela posé, que l’on construise $y_{(\xi +i)}$ en prenant

$\mathrm {\overline {KP}} =y_{\xi },\ \mathrm {\overline {PA}} =Ri^{r},\ \mathrm {\overline {AB}} =Si^{s},\ldots \mathrm {\overline {FG}} =Vi^{v},\ \mathrm {\overline {GH}} =i^{n}$

on aura