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CORRESPONDANCE.

volume des Annales ; et rendre ainsi tout à fait élémentaire la belle théorie développée à la page 138 du même volume. En attendant que quelqu’un de plus adroit que moi y soit parvenu, je vais au moins donner du Lemme de la page 345 une démonstration, toujours algébrique, mais délivrée du moins de l’emploi du calcul différentiel.

La question dont il s’agit (pag. 346) est de rendre minimum, l’expression

$z=a{\sqrt {k^{2}+x^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}+b{\sqrt {k^{2}+y^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta }},\qquad$(1)

sous les conditions

$x+y=A,\qquad$(2)

$a\operatorname {Sin} .\alpha =b\operatorname {Sin} .\beta =\lambda k,\qquad$(3)

$A$ et $\lambda$ étant deux constantes.

Soient fait d’abord passer sous les radicaux, dans (1), les coefficiens qui les affectent ; en ayant égard à (3), cette équation deviendra

$z=k\left\{{\sqrt {a^{2}+\lambda ^{2}x^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+\lambda ^{2}+y^{2}}}\right\}\,;$

d’où en quarrant et extrayant ensuite la racine quarrée,

$z=k{\sqrt {\left\{\left(a^{2}+b^{2}\right)+\lambda ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2{\sqrt {\left\{a^{2}b^{2}+\lambda ^{2}\left(a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}\right)+\lambda ^{4}x^{2}y^{2}\right\}}}\right\}}}\,;$

équation qui, à l’aide de (2), et en posant, pour abréger

$(a+b)^{2}+\lambda ^{2}A^{2}=C^{2},\qquad ab+\lambda ^{2}xy=Z,$

peut facilement être mise sous cette forme

$z=k{\sqrt {C^{2}+2\left\{{\sqrt {Z^{2}+\lambda ^{2}(ay-bx)^{2}}}-Z\right\}}}.\qquad$(4)