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SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

les résultats de transformations successives appliquées à une équation identique. Écrivons, par exemple,

${\frac {1}{1+a}}={\frac {1}{1+a}}.$

Exécutons indéfiniment sur le second membre l’opération de la division, et nous aurons la série

${\frac {1}{1+a}}=1-a+a^{2}-a^{3}+a^{4}-\ldots$

Écrivons encore l’équation identique

${\frac {1}{1+a}}={\frac {1}{a+x}}+{\frac {b+x}{(a+x)(a-b)}}.$

Faisons successivement $x=0,\ x=c,\ x=d,\ldots \,;$ et nous aurons la suite des transformées

${\begin{aligned}{\frac {1}{a-b}}&={\frac {1}{a}}+{\frac {b}{a(a-b)}},\\{\frac {1}{a-b}}&={\frac {1}{a+c}}+{\frac {b+c}{(a+c)(a-b)}},\\{\frac {1}{a-b}}&={\frac {1}{a+d}}+{\frac {b+d}{(a+d)(a-b)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Prenons la somme des produits respectifs de ces équations par 1, par ${\frac {b}{a}},$ par ${\frac {b(b+c)}{a(a+c)}},$ par ${\frac {b(b+c)(b+d)}{a(a+c)(a+d)}},$ par $\ldots \,;$ et nous aurons, en réduisant, la série

${\frac {1}{a-b}}={\frac {1}{a}}+{\frac {b}{a(a+c)}}+{\frac {b(b+c)}{a(a+c)(a+d)}}+\ldots$

$+{\frac {b(b+c)(b+d)\ldots (b+p)}{a(a+c)(a+d)\ldots (a+p)(a+q)}}$