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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\operatorname {F} x=fy=fp+{\frac {(y-p)}{1}}.{\frac {\operatorname {d} fp}{\beta }}+{\frac {(y-p)^{2}}{1.2}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}fp}{\beta ^{2}}}+\ldots \qquad$(99)

Dans celle-ci, $p$ est une arbitraire qui a pour différence constante $\beta .$ Je différencie l’équation (99), par rapport à $x$ seul, et j’ai

$\operatorname {dF} x=\operatorname {d} y.{\frac {\operatorname {d} fp}{\beta }}+{\frac {(y-p)}{1}}\operatorname {d} y.{\frac {\operatorname {d} ^{2}fp}{\beta ^{2}}}+\ldots \qquad$(100)

puis je suppose qu’en faisant $y=p$ dans $V=0,$ on trouve entre autres $x=\theta ,$ et réciproquement ; on aura (98)

$p=\varphi \theta ,\qquad \operatorname {d} p=\operatorname {d} \varphi \theta ,\qquad fp=f\varphi \theta =\operatorname {F} \theta .$

Ensuite, je fais $y=p$ dans (100), et cette équation devient

$\operatorname {dF} \theta =\operatorname {d} \varphi \theta .{\frac {\operatorname {d} fp}{\beta }}\,;\qquad$(101)

d’où

${\frac {\operatorname {d} fp}{\beta }}={\frac {\operatorname {dF} \theta }{\operatorname {d} \varphi \theta }}.$

L’équation (101) est la même que (81), trouvée d’une autre manière. Je divise l’équation (100) par $\operatorname {d} y,$ je différencie par rapport à $x,$ et j’ai

$\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {dF} x}{\operatorname {d} y}}\right)=\operatorname {d} y.{\frac {\operatorname {d} ^{2}fp}{\beta ^{2}}}+{\frac {(y-p)}{1}}\operatorname {d} y.{\frac {\operatorname {d} ^{3}fp}{\beta ^{3}}}+\ldots \qquad$(102)

dans celle-ci, je fais $y=p,$ et j’ai

${\frac {\operatorname {d} ^{2}fp}{\beta ^{2}}}={\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {dF} \theta }{\operatorname {d} \varphi \theta }}\right).$

J’opère sur l’équation (102) comme j’ai fait sur (99) et (100), c’est-à-dire, je divise par $\operatorname {d} y,$ je différencie, je fais $y=p,$ et j’ai

${\frac {\operatorname {d} ^{3}fp}{\beta ^{3}}}={\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}\operatorname {d} \left[{\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {dF} \theta }{\operatorname {d} \varphi \theta }}\right)\right].$

L’induction est manifeste, et l’on voit que j’aurai, en général,