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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\operatorname {F} \varphi x=\operatorname {F} y=a^{\varphi x}=a^{y}.$

Nous aurons, d’après le théorème (81)

$\operatorname {d} a^{\varphi x}={\frac {\operatorname {d} a^{y}}{\beta }}.\operatorname {d} \varphi x.$

Mais, d’après (83), puisque $\operatorname {d} y=\beta$ par hypothèse, on a

$\operatorname {d} a^{y}=a^{y}\operatorname {L} a=a^{\varphi x}\operatorname {L} a\,;$

donc, on aura

$\operatorname {d} a^{\varphi x}=a^{\varphi x}\operatorname {d} \varphi x.\operatorname {L} a\,;\qquad$(84)

c’est-à-dire, la formule pour différencier les exponentiels.

Si on fait attention que $\operatorname {L} a^{\varphi x}=\varphi x\operatorname {L} a,$ et par conséquent que $\operatorname {d} \varphi x.\operatorname {L} a=\operatorname {dL} a^{\varphi x},$ la formule (84) deviendra

$\operatorname {d} a^{\varphi x}=a^{\varphi x}.\operatorname {dL} a^{\varphi x}\,;$

dans laquelle, si on fait $\operatorname {F} x=a^{\varphi x},$ ce qui est permis, on aura

$\operatorname {dF} x=\operatorname {F} x.\operatorname {dLF} x\,;\qquad$(85)

c’est l’expression de ce théorème : la différentielle d’une variable est toujours égale à cette fonction multipliée par la différentielle de son logarithme.

On en conclut sur-le-champ

$\operatorname {dLF} x={\frac {\operatorname {dF} x}{\operatorname {F} x}}\,:\qquad$(86)

c’est la formule pour différencier les logarithmes naturels, en faisant attention que $\operatorname {LF} x)^{m}=m\operatorname {LF} x\,;$ d’après les formules (85), (86), on aura

$\operatorname {d} (\operatorname {F} x)^{m}=(\operatorname {F} x)^{m}.\operatorname {dL} (\operatorname {F} x)^{m}=m(\operatorname {F} x)^{m}.\operatorname {dLF} x$

$=m(\operatorname {F} x)^{m-1}.\operatorname {dF} x\,:\qquad$(87)

c’est la formule de différentiation des puissances.

Puisque $\operatorname {L} (\varphi x.\operatorname {F} x)=\operatorname {L} \varphi x+\operatorname {LF} x,$ on aura (85)