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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\Delta ^{n}\zeta =\left[\left(1+{\tfrac {\Delta }{x}}\right)\left(1+{\tfrac {\Delta }{y}}\right)-1\right]^{n}\zeta =\left[{\frac {\operatorname {E} }{y}}\left(1+{\tfrac {\Delta }{x}}\right)-1\right]^{n}\zeta$

$=\left[{\frac {\operatorname {E} }{x}}\left(1+{\tfrac {\Delta }{y}}\right)-1\right]^{n}\zeta .\qquad$(75)

Si, dans $\operatorname {d} ^{n}\zeta =(\operatorname {LE} )^{n}\zeta ,$ on met, au lieu de $\operatorname {E} \zeta ,$ l’expression (70), on aura

$\operatorname {d} ^{n}\zeta =(\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{x}}\ {\frac {\operatorname {E} }{y}})^{n}\zeta \,;\qquad$(76)

or, d’après la formule (61) et les expressions (72), on a

$\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{x}}\ {\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta =\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{x}}\zeta +\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta ={\frac {\operatorname {d} }{x}}\zeta +{\frac {\operatorname {d} }{y}}\zeta =\left({\frac {\operatorname {d} }{x}}+{\frac {\operatorname {d} }{y}}\right)\zeta \,;$

donc, au lieu de(76), on aura

$\operatorname {d} ^{n}\zeta =\left({\frac {\operatorname {d} }{x}}+{\frac {\operatorname {d} }{y}}\right)^{n}\zeta .\qquad$(77)

Si, dansl’équation (64), on change $u,f,x,\varphi$ en $m,{\frac {\operatorname {E} }{x}},n,{\frac {\operatorname {E} }{y}},$ respectivement, on aura

${\frac {\operatorname {E} ^{m}}{x}}\ {\frac {\operatorname {E} ^{n}}{y}}\zeta =\varphi (x+m\alpha ,y+n\beta )=\operatorname {L} ^{-1}\left(m\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{x}}+n\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)\zeta \,;$

équation qui, d’après (62), deviendra

${\frac {\operatorname {E} ^{m}}{x}}\ {\frac {\operatorname {E} ^{n}}{y}}\zeta =\varphi (x+m\alpha ,y+n\beta )=\operatorname {L} ^{-1}\left(m{\frac {\operatorname {\operatorname {d} } }{x}}+n{\frac {\operatorname {\operatorname {d} } }{y}}\right)\zeta .\qquad$(78)

On sait (n.^os 11, 18) développer toutes ces expressions abrégées.

C’est ici le lieu de faire observer qu’on peut former, en combinant les fonctions différentielles entre elles et avec les facteurs eonstans, une infinité de fonctions différentielles nouvelles qui toutes, d’après nos théorèmes généraux (n.^os 5 … 10) seraient distributives