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PROBLÈMES.

80. SECONDE APPROXIMATION. L’angle $\psi$ est égal à ${\frac {3\operatorname {Sin} .\psi }{2+\operatorname {Cos} .\psi }}.$ Il n’en diffère effectivement que de ${\tfrac {\psi 5}{180}}+\ldots ,$ ce qui fait

${\begin{aligned}0,0002,&{\text{ pour }}\psi =30^{\circ },\\0,0018,&{\text{ pour }}\psi =45^{\circ },\\0,0080,&{\text{ pour }}\psi =60.^{\circ },\\\end{aligned}}$

Pour un angle moindre que 30°, la différence est insensible. Ce théorème se trouve dans l’ouvrage de Snellius, nommé Cyclométricus (Lugd. Batav. 1621) ; mais des auteurs très-instruits, en le faisant remonter plus haut de près de deux siècles, en attribuent l’honneur au célèbre et savant cardinal Nicolaus Cusanus. Cette formule fournit, pour la solution du problème, une approximation plus exacte, mais elle conduit à des équations plus compliquées.

81. TROISIÈME APPROXIMATION. L’angle $\psi$ est égal à ${\frac {14+\operatorname {Cos} .\psi }{9+6\operatorname {Cos} .\psi }}\operatorname {Sin} .\psi .$ Il n’en diffère effectivement que de ${\tfrac {\psi 7}{2100}}+\ldots ,$ ce qui fait

${\begin{aligned}0,000005,\ldots &{\text{ pour }}\psi =30^{\circ },\\0,000100,\ldots &{\text{ pour }}\psi =45^{\circ },\\0,000800,\ldots &{\text{ pour }}\psi =60.^{\circ },\\\end{aligned}}$

En faisant usage de cette troisième formule, on pourra employer des observations de quelques mois d’intervalle.

82. Dionis du Séjour, dans son Quatorzième mémoire analitique (Acad. des sciences, année 1779, pag. 155), a substitué au secteur curviligne de l’astre, qui est proportionnel au temps, l’aire rectiligne comprise entre les rayons vecteurs et la corde correspondante. On a, pour le premier,

${\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )=\varkappa '-\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa )\,;$

et on aurait pour l’autre