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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

il s’ensuit que le sinus avec le facteur constant, l’état varié ou la différence avec le facteur variable, … n’appartiennent point à la classe des fonctions commutatives entre elles.

5. On recueille de ces simples notions plusieurs théorèmes importans.

Si deux fonctions simples $\varphi ,\psi$ sont distributives, la fonction monôme composée sera aussi distributive ; car puisque, par hypothèse

$\psi (x+y)=\psi x+\psi y,\qquad \varphi (t+u)=\varphi t+\varphi u,$

on aura évidemment

$\varphi \psi (x+y)=\varphi (\psi x+\psi y)=\varphi (t+u)=\varphi t+\varphi u=\varphi \psi t+\varphi \psi u.$

Il suit de là immédiatement que les différens ordres d’une fonction distributive sont aussi des fonctions distributives.

6. Si les fonctions monômes $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}},\varphi ,\ldots$ composantes de la fonction polynôme $\operatorname {F}$ sont distributives, la fonction polynôme $\operatorname {F}$ aura aussi la même propriété ; car, d’après la définition (10) on aura

$\operatorname {F} (x+y)=\operatorname {f} (x+y)+{\mathcal {f}}(x+y)+\varphi (x+y)+\ldots \,;$

mais, parce que $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}},\varphi ,$ sont distributives, cette équation deviendra

$\operatorname {F} (x+y)=\operatorname {f} x+{\mathcal {f}}x+\varphi x+\ldots +\operatorname {f} y+{\mathcal {f}}y+\varphi y+\ldots =\operatorname {F} x+\operatorname {F} y.$

On dira la même chose (n.^o 5) des différens ordres $\operatorname {F} ^{n}$ de la même fonction.

7. Si les fonctions $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}},\varphi ,\ldots$ sont commutatives entre elles deux à deux, de manière qu’on ait

$\operatorname {f} {\mathcal {f}}z={\mathcal {f}}\operatorname {f} z,\qquad {\mathcal {f}}\varphi z=\varphi {\mathcal {f}}z,\ldots \qquad \,;$

et si ensuite, ayant pris un certain nombre $n$ de ces fonctions, on en forme toutes les fonctions monômes composées que peut fournir la permutation entre eux des $n$ signes fonctionnaires, toutes les fonctions monômes composées résultantes seront équivalentes.

Ainsi, par exemple, si l’on prend les trois premières $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}},\varphi ,$ on aura

$\operatorname {f} {\mathcal {f}}\varphi z={\mathcal {f}}\operatorname {f} \varphi z=\operatorname {f} \varphi {\mathcal {f}}z=\varphi \operatorname {f} {\mathcal {f}}z={\mathcal {f}}\varphi \operatorname {f} z=\varphi {\mathcal {f}}\operatorname {f} z.$