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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

$z=\operatorname {Sin} .\operatorname {Sin} .^{-1}z=\operatorname {Sin} .\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=z)$

$=\operatorname {Tang} .\operatorname {Tang} .^{-1}z=\operatorname {Tang} .\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=z).$

Pour prévenir toute méprise, le produit de $\operatorname {f} x$ par ${\mathcal {fy}}$ sera représenté par $\operatorname {f} x.{\mathcal {f}}y.$ L’expression $\operatorname {f} x{\mathcal {f}}y$ signifierait la fonction $\operatorname {f}$ du produit de $x$ par ${\mathcal {f}}y.$ La puissance $n$ de $\operatorname {f} x$ sera indiquée par $(\operatorname {f} x)^{n}.$ L’expression $\operatorname {f} x^{n}$ il désignant la fonction $\operatorname {f}$ de la puissance $n$ de $x.$

2. Soit

$\operatorname {F} z=\operatorname {f} z+{\mathcal {f}}z+\varphi z+\ldots \,;\qquad$(10)

c’est-à-dire, supposons que la fonction $\operatorname {F}$ de $z$ est telle que, pour la former, il faut, à la fonction $\operatorname {f}$ de $z,$ ajouter (algébriquement) une seconde fonction ${\mathcal {f}}$ de la même lettre, puis une troisième marquée par $\varphi ,$ et ainsi de suite. La fonction $\operatorname {F}$ est alors de la classe des fonctions polynômes. On peut indiquer cette signification de la fonction $\operatorname {F}$ par une notation très-expressive, qui a le grand avantage de permettre de traiter les fonctions polynômes comme des fonctions monômes, sans perdre de vue de quelle manière elles sont composées. On écrit pour cela

$\operatorname {F} z=(\operatorname {f} +{\mathcal {f}}+\varphi +\ldots )z$

il en résulte qu’on a aussi

$\operatorname {F} ^{n}z=(\operatorname {f} +{\mathcal {f}}+\varphi +\ldots )^{n}z.\qquad$(11)

Si $\operatorname {F} '$ est une autre fonction polynôme de $z,$ donnée par l’équation

$\operatorname {F} 'z=(\operatorname {f} '+{\mathcal {f}}'+\varphi '+\ldots )(\operatorname {f} +{\mathcal {f}}+\varphi +\ldots )z\,;\qquad$

on pourra aussi exprimer qu’on prend la fonction $\operatorname {F} '$ de $\operatorname {F} z,$ en écrivant

$\operatorname {F} '\operatorname {F} z=(\operatorname {f} '+{\mathcal {f}}'+\varphi '+\ldots )(\operatorname {f} +{\mathcal {f}}+\varphi +\ldots )z\,;\qquad$(12)

et ainsi de suite.