55
DES COURBES.
d’où, par l’élimination de
et
on conclura sur-le-champ
![{\displaystyle {\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477fc041668b9ed39fa8ce748148c332aba5dd25)
en mettant successivement cette dernière équation sous les deux formes
![{\displaystyle {\frac {q.2pq-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}=1-p,\ {\tfrac {q.\left[q\left(1+p^{2}\right)+p.2pq\right]-p\left(1+p^{2}\right)r}{q^{2}}}=1+p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533f8abb1fa42e45f259dd440b87b51776a182b5)
on verra aisément que deux de ses intégrales premières sont
![{\displaystyle {\frac {1+p^{2}}{q}}=x-y+A,\qquad {\frac {p\left(1+p^{2}\right)}{q}}=x+y+B\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f03f6f1631c9011df941641126381506cfd1198)
d’où, par l’élimination de
on conclura l’intégrale seconde
![{\displaystyle p={\frac {x+y+B}{x-y+A}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677144e0ff5d09325b68d4f82152070ea34df021)
ou simplement
![{\displaystyle \qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {x+y}{x-y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994fa240e971e3a5db716f3f0ab9f2def9d84bb5)
attendu que, par un changement d’origine, on peut toujours faire disparaître les deux constantes
et
L’intégrale de cette dernière équation est
![{\displaystyle C+\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)=\operatorname {Log} .{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264758ccd6ff1a60951e43176cf387e3ee658e7a)
ou, en passant aux coordonnées polaires, et faisant commencer les arcs avec les rayons vecteurs,
![{\displaystyle t=\operatorname {Log} .\nu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ddc77bbe296fdfdfb9f4f8abe78835828f4631)
équation de la spirale logarithmique, comme on pouvait bien s’y attendre.
Je terminerai par observer qu’avec des modifications convenables, il serait possible d’étendre aux surfaces courbes et aux courbes à double courbure la théorie qui vient d’être développée.