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ÉQUATIONS ABSOLUES
le signe supérieur répondant à l’ellipse et l’inférieur à l’hyperbole.
Si l’on veut passer de là à la parabole, il suffira de supposer que
est infini, ce qui donnera, pour l’équation de cette courbe,
![{\displaystyle \left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {2R}{p}}\right)^{2}}}\right\}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c9a1b135e43b5aa40f78348ad09343ab0f39d6)
(P)
Si, dans les équations (E) et (H), on fait
elles deviendront
respectivement propres au cercle et à l’hyperbole équilatérale ; il
viendra ainsi
![{\displaystyle \left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {R}{a}}\right)^{2}}}\right\}^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b9f0b845e26d432c92b7aeec2f87a369fa2517)
![{\displaystyle \left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\frac {R}{a}}{\sqrt[{3}]{\left({\frac {R}{a}}\right)}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dba8627b2c890787fcd4517d9b6d9f2e0680bcc)
et l’on voit que la première revient à ces deux-ci
![{\displaystyle R=a,\qquad R'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e00712cccca46ff148b0fd409aa9ae268134465)
ainsi que cela doit être.
En mettant, dans toutes ces équations, pour
sa valeur
et tirant ensuite de l’équation résultante la valeur de
en fonction
de R et
on aura des formules qui pourront servir commodément
à tracer les lignes du second ordre, à la manière des anses de paniers ;
le tracé approchera d’autant plus d’être exact qu’on fera croître l’angle
par des degrés plus petits.
Pour second exemple, proposons-nous de déterminer l’équation,
en coordonnées rectangulaires, de la courbe qui a constamment son
rayon de courbure égal à celui de sa développée ; les équations du
problème seront
![{\displaystyle R'=R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb7c453a3e2a5f8ed3f40d3e284526fce0f9fc7)
![{\displaystyle qR^{2}=\left(1+p^{2}\right)^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4f259a5ba6828a27c26ebe251db9ec07df4f49)
![{\displaystyle q^{2}R'=\left[3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)\right]R\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98681e6ff42032fd49d51479100deb9c277c1048)