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COURBURE
points et par la normale au premier ; concevons un autre plan perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint ces deux points ; ce dernier plan coupera la normale en un point qui deviendra le centre de courbure de la section normale pour le point
de cette section, lorsque le point
viendra coïncider avec lui.
Traduisons ce procédé en analise ; les équations de la normale en
sont
![{\displaystyle X-x=-p(Z-z),\qquad Y-y=-q(Z-z)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221d533c5943bbf8704da84e07a079efe3cd8e96)
(19)
celle du plan passant par cette droite et par le point
sera
![{\displaystyle (h+qk)(X-x)-(g+pk)(Y-y)+(ph-qg)(Z-z)=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963c7686533cb5356867dd37b62d2256237c2861)
(20)
enfin on trouvera, pour celle du plan perpendiculaire sur le milieu de ![{\displaystyle \mathrm {MM',} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d7dc6893d2ba5f6531c231beb0c68a5a7b0e92)
![{\displaystyle 2g(X-x)+2h(Y-y)+2k(Z-z)=g^{2}+h^{2}+k^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0206e26952882e1a59e7ef1186c3704088a3cce3)
(21)
Si l’on combine cette dernière équation avec celles de la normale, on trouvera pour les équations du centre du cercle tangent à la section normale en
et passant par
en ayant égard à l’équation (2),
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}X-x=&-p.{\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }},\\Y-y=&-q.{\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }},\\Z-z=&.{\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }},\\\end{aligned}}\right\}\quad (22)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf628ec78773e2396258813b9447c676469a68b)
le rayon de ce cercle sera donc
![{\displaystyle {\sqrt {(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364c1cb36d38eb694f1984dddc763e11afb1ca81)
![{\displaystyle ={\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9598b8032bc55b64f69fa675fb0c0ed7be61b5a)
(23)