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EXPRESSIONS APPROCHÉES
![{\displaystyle p={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97059a7848f36ca9b9f7ceb2622368f322b0a332)
(1)
![{\displaystyle P={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd39be20f9a8d5b532a6bafa1692066ee536f1d)
(2)
Et tels sont les périmètres des deux polygones dont il s’agit ; on voit que leurs expressions ne diffèrent que par le facteur
qui n’est qu’à la première puissance dans le dénominateur de la première, tandis qu’il se trouve au quarré dans le dénominateur de la seconde.
On a évidemment
et
; on aura donc aussi
![{\displaystyle \varpi >{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86057d0f0cbebdb3a522fd6c2ccea23e1f407b7)
(3)
![{\displaystyle \varpi <{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da9eddce04258ca2b935f35dd12a765fd52d5de)
(4)
Voila donc deux limites de la valeur du nombre
; limites d’autant plus resserrées, toutes choses égales d’ailleurs, que
sera plus grand. En prenant l’une ou l’autre pour valeur approchée de
la limite de l’erreur sera
![{\displaystyle 2^{m}.n\left\{\operatorname {Tang} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}-\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58aac6dcdcbcbd9ff95068043887b80bb46c583)