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PROBLÈME
[1]
ou simplement, à cause de
constant,
![{\displaystyle M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta x+M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta y-Pp\delta x'=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d561d8a4df51b26b235b4dd9dff4429643a2c897)
(1)
En désignant par
la longueur de la verge, la liaison des parties du système sera exprimée par l’équation unique
![{\displaystyle (x-x')^{2}+y^{2}=a^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f9203bf688417a4cc27c741bcfd089785c953d)
(2)
laquelle donnera
![{\displaystyle (x-x')(\delta x-\delta x')+\gamma \delta y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c4441910081188a4ccb4a66c0667c5ef1a005d)
d’où
![{\displaystyle \delta x'=\delta x+{\frac {y}{x-x'}}\delta y\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aa0316fe2f27a6e3cbe73f65ea6860772adfcd)
(3)
substituant donc cette valeur dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle \left\{M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}-Pp\right\}\delta x+\left\{M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {Ppy}{x-x'}}\right\}\delta y=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5486602204576d78e253a7bb04b1889413575e9c)
(4)
et
devant alors être indépendans, on aura séparément
![{\displaystyle M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=Pp,\qquad M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {Ppy}{x-x'}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd35ea10fd6cb61b6c55cafd2a8baa51e0e07d1)
(5)
d’où, l’élimination de
on conclura
![{\displaystyle y\mathrm {d} ^{2}x=(x-x')\mathrm {d} ^{2}y.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767e0e244d27c06ad1d0f6a1493a98ba86ab26fa)
(6)
Puisque
est constant, cherchons à obtenir une équation en
et
Pour cela, différentions deux fois consécutivement l’équation (2) ; il viendra ainsi
![{\displaystyle \mathrm {d} x=\mathrm {d} x'-{\frac {y\mathrm {d} y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096eceab73b86a9d2852bbe207bd8a38b4b81e77)
- ↑ Voyez la Mécanique céleste, tome 1.er, page 51.