302
DIVISION
![{\displaystyle Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}+Hx^{p-r}+\ldots +V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361dcfe08572b54083f5a9de4944db56e89a66db)
le polynôme dont il s’agit ; il faut prouver que le premier terme du développement de
![{\displaystyle \left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}+Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{m}-\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e2fc220b7f4ba54664ff081e515c4e5abfa302)
est
![{\displaystyle m\left(Ax^{p}\right)^{m-1}\times Hx^{p-r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e00046c8a645b2d0fcde6e12026657a8bdf96)
Or, en traitant la première partie comme un binôme, développant par la formule de Ne\thetaon, et réduisant, il vient
![{\displaystyle m\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-1}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2517d0df180635b5b406b09fc2b42f41e7b4491)
![{\displaystyle +m.{\frac {m-1}{2}}\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-2}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c38160bba046aae27ee7e17d7ddd00c37070adb)
![{\displaystyle +\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}\left(Ax^{p}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb88ca366d88190da0164525a3b3ae62cfd7f2f8)
![{\displaystyle +\left.Gx^{p-r+1}\right)^{m-n}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{n}+\ldots \qquad (\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f39276c5f3340f9a7c9aebab614a5a5a41a13a)
sur quoi on doit remarquer qu’à cause du premier terme qui manque la plus petite valeur de
doit être l’unité.
Considérons présentement à part le terme général
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-n}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91823b3337f825cb5b98142b07cbabfb690974b)
et cherchons quel est le terme le plus élevé de son développement. D’abord (§. II. Lemme I) le terme le plus élevé du développement de
![{\displaystyle \left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ea1de43e2c2691c5df70da7f717fcba60feb5b)
est