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DES FRACTIONS.
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}+{\frac {N}{b^{m+2n}}}+{\frac {N}{b^{m+3n}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893e3910fdb2aa7817cc844821504b97ecaa98e6)
![{\displaystyle ={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}\left\{1+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)^{3}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a789b1f3ce1aa27a60b7b9cead333c9232df2ebd)
![{\displaystyle ={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}.{\frac {1}{1-{\frac {1}{b^{n}}}}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}.{\frac {b^{n}}{b^{n}-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab57c8fa5c81edaae074ed90db4e342cda7262e)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}={\frac {M\left(b^{n}-1\right)+N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}.\qquad (\varkappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc5cc0e9cc3ddca9692eb06f52ea33c5240d08a)
5. Cela posé, soit mise l’équation
sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {Ab^{m}\left(b^{n}-1\right)}{B}}=M\left(b^{n}-1\right)+N.\qquad (\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29b9807103f6e18b2370105deebf11bcd7e7b3c)
Il faut que le premier membre de cette équation soit un nombre
entier ; et, comme
et
sont supposés premiers entre eux, il
s’ensuit que
doit être divisible par
Soit donc fait
étant le produit des facteurs premiers de
qui se
trouvent dans
et
le produit de ceux qui ne s’y trouvent pas.
Attendu que
et
sont nécessairement premiers entre eux, il faudra que
![{\displaystyle {\frac {b^{m}}{C}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f04de7ffd2d9c95e013baa21f2677f2cf25918f)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {b^{n}-1}{D}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ed222bbc1af091007a82c3cc692d09f09feac7)
soient séparément des nombres entiers. Ainsi, 1o. le dénominateur de la fraction génératrice ne saurait renfermer aucun des facteurs premiers de la base de son développement à une puissance supérieure à celle dont l’exposant est le nombre de fois que ce facteur premier se trouve dans la base, multiplié par le nombre des termes qui précèdent la première période ; 2o. le produit des facteurs premiers du dénominateur de la fraction génératrice qui sont étrangers à la base de son développement, est toujours diviseur d’un nombre moindre d’une unité que la puissance de cette base dont le degré est marqué par le nombre des termes des périodes.