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THÉORIE GÉNÉRALE
30. THÉORÈME. Si une équation, dont les coefficiens sont réels,
a une racine égale à
, elle en a nécessairement une autre égale à
Démonstration. Puisque
est racine de l’équation proposée, le premier membre de cette équation doit être divisible par
; et, en exécutant la division par ce diviseur, on obtiendra (26) un quotient de la forme
Or, le produit de
par
est
![{\displaystyle \left\{P(x-a)+Qb\right\}+\left\{Q(x-a)-Pb\right\}{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f181d1d58c2baaff48b0df23516aa1fda61b4c)
quantité qui, par hypothèse, doit être nulle. Égalant donc séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire, nous aurons les
deux équations
![{\displaystyle P(x-a)+Qb=0,\qquad Q(x-a)-Pb=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f878d51552edead849d968f36e5094f7ccfa66)
entre lesquelles éliminant
il viendra
![{\displaystyle (x-a)^{2}+b^{2}=0:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abf981de1b6a75f4c04deacb4921d2092e6436b)
donc
et ![{\displaystyle x=a\pm b{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e892b3fcdf033d2d0e960a942694020963d09638)
Donc, si la proposée a une racine
, elle en a nécessairement une autre
[1]
- ↑ On peut encore démontrer de cette autre manière que, généralement,
toute quantité réelle
divisible exactement par
l’est aussi nécessairement par
et par conséquent par le produit de ces deux diviseurs, si
du moins
et
sont premiers entre eux.
Concevons que l’on fasse la division de
par
les termes du quotient ne pourront être que des quatre formes suivantes
![{\displaystyle c,\quad d\left({\sqrt {-1}}\right)^{\alpha },\quad {\frac {e}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{\beta }}},\quad {\mathcal {f}}{\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{\gamma }}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{\delta }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb8defccdc6fdb41a58e4cb3a7f44002f970a78)
lesquels seront tous conséquemment réductibles à l’une des deux formes
et
; par où l’on voit que ce quotient pourra être représenté par
On aura donc
![{\displaystyle R=\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(p+q{\sqrt {-1}}\right)=(ap-bq)+(aq+bp){\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5b49ac9ceb23dfa45ffd8a6bf22b1d8b251158)
et, puisque
est réelle, on devra avoir