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DES ÉQUATIONS
![{\displaystyle P\beta +Q\beta ^{2}+R\beta ^{3}+\ldots +A\beta ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9502cad4a42f7534a2cff7364a4db17d3af9fc56)
soit moindre que ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Soit
le plus grand des coefficiens
; il est
clair que, si nous trouvons pour
une valeur qui rende
![{\displaystyle S\beta +S\beta ^{2}+S\beta ^{3}+\ldots +S\beta ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a5a084eaf6355498b77e476926e6d8cb750fa)
moindre que h,
nous aurons, à plus forte raison,
![{\displaystyle P\beta +Q\beta ^{2}+R\beta ^{3}+\ldots +A\beta ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9502cad4a42f7534a2cff7364a4db17d3af9fc56)
moindre que h.
Mais
![{\displaystyle {\begin{aligned}S\beta +S\beta ^{2}+S\beta ^{3}+\ldots +S\beta ^{m}&=S\beta \left(1+\beta +\beta ^{2}+\ldots +\beta ^{m-1}\right)\\&=S\beta .{\frac {1-\beta ^{m}}{1-\beta }}\\&={\frac {S\beta }{1-\beta }}-{\frac {S\beta ^{m+1}}{1-\beta }}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fbdab02a16f41a03fd32d217ff9891328b41f1)
puis donc que cette quantité doit être moindre que
nous n’avons
qu’à faire
; ce qui donne
; et le problème est résolu.
Car 1.o
est évidemment moindre que l’unité ; d’où il suit que
est une quantité positive, et qu’ainsi le résultat de la
substitution de
sera plus grand que
2.o Ce nouveau résultat est moindre que
puisque
et que ce qu’il faut retrancher de
pour avoir l’excès du nouveau résultat sur le premier, ou plutôt une quantité plus grande
que cet excès, est
; quantité positive et moindre que
Exemple. Soit proposé le polynôme
qui, lorsqu’on y fait
donne le résultat
Et soit demandée pour