190
QUESTIONS
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {SMN} ={\frac {t^{2}+u^{2}-pt-qu}{\mathrm {SM\times MN} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a9de14f434547b1f4326292a39e2ddc2718c07)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {LMN} ={\frac {t^{2}+u^{2}-tx-uy-pt-qu+px+qy}{\mathrm {LM\times MN} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc470ffc39be4beed940ae6c36c0dfe585f957d5)
Il faudra aussi se procurer les expressions des sinus des deux premiers
et
de ces angles. On aura, après les réductions nécessaires,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {SML} ={\frac {h^{2}.\mathrm {\overline {LM}} ^{2}+(ty-ux)^{2}}{\mathrm {\overline {SM}} ^{2}\times \mathrm {\overline {LM}} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650c47a3f3571415fe5151754e93d758fd218562)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {SMN} ={\frac {h^{2}.\mathrm {\overline {MN}} ^{2}+(qt-pu)^{2}}{\mathrm {\overline {SM}} ^{2}\times \mathrm {\overline {MN}} ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572cb2fc684042e76f8de862fc90343b2fb6580d)
Le produit
exprime le double de la surface du triangle
; d’où il suit que cette surface aura pour expression
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}.\mathrm {\overline {LM}} ^{2}+(ty-ux)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe9af3cc855d537d136a6d7c60c31e3decf1724)
5. Le cosinus de l’angle plan
qui exprime l’inclinaison mutuelle des deux faces triangulaires
et
ayant pour son sommet linéaire l’arête pyramidal
est exprimé comme il suit :
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {LSMN} ={\frac {\operatorname {Cos} .\mathrm {LMN} -\operatorname {Cos} .\mathrm {LMS} \operatorname {Cos} .\mathrm {NMS} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {LMS} .\operatorname {Sin} .\mathrm {NMS} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d2ae4c6aa9e94c177a5a0e8293a34c567775e7)
Après les substitutions, et les réductions, en assez grand nombre ; qui se présentent, cette expression devient