Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/20

16

QUANTITÉS

souvent rebattues, qui ont été opposées à ces mêmes principes ; mais, dans la nécessité d’abréger, je m’arrêterai seulement au petit nombre de celles d’entre elles qui m’ont paru les plus spécieuses,

1.^o On demande pourquoi le produit de deux quantités de signes contraires a le privilège d’être négatif plutôt que positif, et s’il ne devrait pas être l’un et l’autre ; puisqu’en changeant d’hypothèse, sur les quantités multipliées, $+\times -$ devient $-\times +,$ et devrait alors donner un produit de signe contraire ? On demande, en se fondant sur les mêmes motifs, pourquoi, si $+\times +=+,$ on n’a pas, en changeant d’hypothèse $-\times -=-$ ?

La réponse à toutes les difficultés de ce genre est simple et facile. Dans toute multiplication, l’un des facteurs est essentiellement un nombre abstrait de la première sorte, et le produit est de la nature de l’autre facteur. Si donc on change d’hypothèse sur les quantités négatives, cela entraînera uniquement le changement des signes du multiplicande et du produit ; or, c’est là une condition à laquelle satisfont en effet les règles connues.^[1]

Cette difficulté est, au surplus, du genre de celle que se propose Lacaille, dans les premières éditions de ses élémens, lorsqu’il se demande pourquoi 12 deniers, multipliés par 12 deniers, ne donnent pas la même chose que 1 sou multiplié par 1 sou ? Et la réponse à cette dernière est tout à fait analogue à celle que je viens de faire à la première. On peut bien changer d’hypothèse, relativement à la grandeur de l’unité de mesure du multiplicande, et cela entraînera nécessairement un pareil changement dans l’unité de mesure du produit ; mais le nombre des unités du multiplicateur étant un nombre abstrait, est indépendant de toute hypothèse, et ne saurait conséquemment être modifié dans aucun cas,

2.^o On demande aussi pourquoi, si les quantités ne sont positives

1. On pourrait m’objecter que le multiplicande, comme le multiplicateur, peut souvent aussi être abstrait et cela est vrai ; mais ces deux nombres abstraits n’en seront pas moins de nature différente. Le multiplicande, comme le produit, est un nombre de choses ; le multiplicateur seul est un nombre de fois.