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RÉSOLUES.
![{\displaystyle \mathrm {\overline {M'F}} ^{2}=(x'-c)^{2}+y'^{2}=(x'-c)^{2}+4cx'=(x'+c)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d287e2108eeea5e62d2ea2ffd0c53c28e10171)
d’où![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {M'F} =x'+c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d0e7d5ff9d97004b0e2ef22155be2a96dfca7c)
et l’on a pareillement
![{\displaystyle \mathrm {M''F} =x''+c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f227637f9ac2a4d921aece8965926d8af387a7)
donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {\overline {M'O}} ^{2}}{\mathrm {\overline {M'F}} }}={\frac {\mathrm {\overline {M''O}} ^{2}}{\mathrm {\overline {M''F}} }}={\frac {(y'-y'')^{2}}{4c}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec50aac38d0221b69c1e2edcefd17470dfed29f2)
(6)
ce qui démontre la première partie de la proposition.
On a de plus
![{\displaystyle \mathrm {M'F} \times \mathrm {M''F} =(x'+c)(x''+c)=\left\{{\frac {y'^{2}}{4c}}+c\right\}\left\{{\frac {y''^{2}}{4c}}+c\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cbb8d0fdd4709482de5e4b9e1675d3460ef5aa)
![{\displaystyle =\left\{{\frac {y'y''}{4c}}-c\right\}+{\tfrac {1}{4}}\left\{y'+y''\right\}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5782cc74cef234019a7558ac16e8641ceb72f2e7)
ou
![{\displaystyle \mathrm {M'F} \times \mathrm {M''F} =(a-c)^{2}+b^{2}=\mathrm {\overline {OF}} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f742c2684ab906c65b1713e5c9ee0af9e0f4a49)
Éliminant successivement
et
entre cette dernière équation
et l’équation (6), et extrayant chaque fois la racine quarrée, il
viendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M'O} }{\mathrm {M''O} }}={\frac {\mathrm {M'F} }{\mathrm {OF} }}={\frac {\mathrm {OF} }{\mathrm {M''F} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b927aa7490944e1423077938c00547713d625496)
d’où il résulte que les deux triangles
et
sont semblables.[1]
Cela posé, si la somme des angles égaux
vaut
- ↑ C’est le théorème de Robert Simson, rappelé par M. Servois, à la page 156 de ce volume.