165
D’ASTRONOMIE.
![{\displaystyle {\begin{aligned}2C&=+5\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .A,\\6D&=+\operatorname {Sin} .A\left(10-26\operatorname {Cos} .^{2}A\right),\\24E&=-\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .A\left(145-206\operatorname {Cos} .^{2}A\right),\\120F&=-\operatorname {Sin} .A\left(306-2228\operatorname {Cos} .^{2}A+2194\operatorname {Cos} .^{4}A\right),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf03e2c65b14cad798583d50212614e9395ede3)
et ainsi des autres. On aura
La série, ordonnée selon les puissances ascendantes de la petite fraction angulaire
est convergente par elle-même ; et les coefficiens nutnériques qui accompagnent les puissances de
ne mettent aucun obstacle à cette convergence.
9. La série donnée par l’illustre auteur de la Mécanique céleste (tome I, page 181), est
![{\displaystyle \phi =A+\left(2e-{\tfrac {1}{4}}e^{3}+{\tfrac {5}{96}}e^{5}\right)\operatorname {Sin} .A+\left({\tfrac {5}{4}}e^{2}-{\tfrac {31}{24}}e^{4}+{\tfrac {17}{192}}e^{6}\right)\operatorname {Sin} .2A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ddf3aba53774c6bd681d75b581257ed486326f)
![{\displaystyle +\left({\tfrac {13}{12}}e^{3}-{\tfrac {43}{64}}e^{5}\right)\operatorname {Sin} .3A+\left({\tfrac {103}{96}}e^{4}-{\tfrac {451}{480}}e^{6}\right)\operatorname {Sin} .4A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6054263e47fed6cd95762351fd7569046bd9396)
![{\displaystyle +{\tfrac {1097}{960}}e^{5}\operatorname {Sin} .5A+{\tfrac {1223}{960}}e^{6}\operatorname {Sin} .6A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e439e2b69b02532ad9e7149396902cd522ab2be9)
Pour la transformer dans la nôtre, il suffira de mettre à la place de
les formules connues, ordonnées selon les puissances ascendantes de
; il faudra faire de plus
et changer enfin les signes de
et de toutes ses puissances impaires, attendu que, dans notre formule, les anomalies sont comptées, non du périhélie, mais de l’aphélie. On reconnaîtra bientôt ainsi l’identité absolue entre l’une et l’autre.
10. Faisant, dans cette formule,
ou
on aura
Etsî l’on fait
il résultera
.
On aura donc
et telle est aussi, à très-peu près, la plus grande équation du centre.
11. PROBLÈME II. On demande d’exprimer le rayon vecteur
par une série analogue à la précédente, savoir
le demi-grand axe étant supposé égal à l’unité ?
12. Solution. On a, par la théorie connue de l’ellipse,
![{\displaystyle r={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cb46e52b9549b69c1da3fa3bb5b37c1500e20b)