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DES GRANDEURS IMAGINAIRES.
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+x)=-mn{\sqrt {-1}}\left[-1+(1+x)^{\frac {1}{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cff0259c9ba517ab90628cbcd8c1b525fc2319b)
![{\displaystyle =-mn{\sqrt {-1}}\left(-1+1+{\frac {1}{n}}x-{\frac {1}{2n}}x^{2}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889aa8aa91c835fdf4d03f5b1eff9226be264806)
![{\displaystyle =-mn{\sqrt {-1}}\left(x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988e1f04d6eb9d0f635c3ab851b9dd90b3d13dcb)
ou encore, parce que
est indéterminé
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+x)=m\left(x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9431b0ff5b290f03b7d6f10d002902ae83b5b7)
Divisons les deux arcs égaux
(fig. 8) en
parties égales ; tirons la double tangente
et les sécantes
nous aurons (8)
![{\displaystyle {\frac {\ldots }{\ldots }}{\frac {\mathrm {\overline {KA}} }{\mathrm {\overline {KA}} }}:{\frac {\overline {\mathrm {K} b}}{\overline {\mathrm {K} b'}}}:{\frac {\mathrm {\overline {KC}} }{\mathrm {\overline {KC'}} }}:\ldots :{\frac {\overline {\mathrm {K} n}}{\overline {\mathrm {K} n'}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b85961ac6d0ac6635a9bc8adb54abd6207e9a55)
donc les arcs correspondans, ou certains multiples de ces arcs peuvent encore être pris pour les logarithmes de ces mêmes quantités, savoir :
![{\displaystyle m.\mathrm {AN} =\operatorname {Log} .{\frac {\overline {\mathrm {K} n}}{\overline {\mathrm {K} n'}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ce36786690b839ff245bc4e74b6d033503370a)
Soit
on a
![{\displaystyle mx=\operatorname {Log} .{\frac {\overline {\mathrm {K} n}}{\overline {\mathrm {K} n'}}}=\operatorname {Log} .{\frac {{\overline {\mathrm {KA} }}+{\overline {\mathrm {A} n}}}{{\overline {\mathrm {KA} }}+{\overline {\mathrm {A} n'}}}}=\operatorname {Log} .{\frac {1+{\sqrt {-1}}\operatorname {Tang} .x}{1-{\sqrt {-1}}\operatorname {Tang} .x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810f4e8bb65fcc7fd6630e32e07ca6907901f064)
Soit encore (fig. 9) l’arc
divisé en un nombre infini de parties égales, dont
soit la première, prenons
et tirons
et
nous aurons
![{\displaystyle 2a{\sqrt {-1}}=2AN{\sqrt {-1}}=2n.AB{\sqrt {-1}}=2n.{\overline {\mathrm {AB} }}=2n\left({\overline {\mathrm {AK} }}+{\overline {\mathrm {KB} }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6890e7983a652acdba97d647fb2e16e55e71ef)
![{\displaystyle =2n\left(-1+{\overline {\mathrm {KN} }}^{\frac {1}{n}}\right)=2n\left[-1+\left({\overline {\mathrm {KA} }}+{\overline {\mathrm {AN} }}\right)^{\frac {1}{n}}\right]=2n\left[-1+\left(1+{\overline {\mathrm {AN} }}\right)^{\frac {1}{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119efdd98b5b656827d86dedfac42c4702de043b)
(D)
mais (8), ![{\displaystyle {\overline {\mathrm {AN} }}=2{\overline {p\mathrm {N} }}=2{\overline {\phi \mathrm {P} }}\times {\overline {\mathrm {KP} }}=2{\overline {\phi \mathrm {P} }}\left({\overline {\mathrm {K} \phi }}+{\overline {\phi \mathrm {P} }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86629e927b8878e26b2d31399e98706a20690407)
![{\displaystyle =2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .a\left(\operatorname {Cos} .a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .a\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ae88ded659923542e195ae136d89980d9d741f)